Área de análisis matemático

Bienvenido al área de Análisis Matemático. Esta página pretende ser un lugar al que acceder para reunir a los interesados en el análisis matemático.

Temas de interés

• Conjuntos numéricos
• Funciones de varias variables
• Teoría de la medida y de la integración
• Análisis Vectorial
• Ecuaciones en derivadas parciales
• Ecuaciones funcionales

Proyectos de aprendizaje

• Cálculo y análisis matemático
• Ecuaciones diferenciales
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Serie de Fourier

Recursos externos

Análisis matemático en Wikilibros.

Cálculo en una variable en Wikilibros.

Todo lo que necesitas para aprender, comprender y amar el Análisis Matemático: libros impresos, libros electrónicos, wikilibros, páginas web, videos, artículos, etc.

• GNU Octave: Octave o GNU Octave es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Maxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.

• Geometría, de Carlos Ivorra. El capítulo dedicado a la medida desegmentos, ángulos y arcos es la excusa perfecta para dar una construcción rigurosa de los números reales, su aritmética y su topología.

• Análisis Matemático, de Carlos Ivorra. Exposición de los principales tópicos del Análisis Matemático de dimensión finita, desde la topología de la recta real hasta la Teoría de la Medida, pasando por las Ecuaciones en Derivadas Parciales.

• Funciones de Variable Compleja con Aplicaciones a la Teoría de Números, de Carlos Ivorra. En el se exponen los principales tópicos del Análisis de Variable Compleja.

• Análisis No Estándar, de Carlos Ivorra. Una verdadera rareza.

• Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, de Ireneo Peral Alonso. Inmejorable introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Versión electrónica (pdf) y gratuíta de la publicación comercial en papel, ya agotada.

• Analyse Fonctionnelle et Théorie Spectrale, de B. Maurey. Libro sobre Análisis Funcional. En francés.

• Functional Analysis Network.

Investigación

Si estás interesado en la investigación en Análisis Matemático (ya sea porque quieres investigar y no tienes ahora ningún problema en mente, ya sea porque hay algo que no te sale y quieres buscar colaboración) pincha en esta página: Investigación: Análisis Matemático.

Temas básicos del Análisis Matemático

El Análisis Matemático es una vastísima rama de la Matemática. En las universidades tradicionales existen varias asignaturas que cubren lo que se considera el conocimiento básico de esta rama. A continuación se expone un listado exhaustivo de las materias que se suelen impartir.

Conjuntos numéricos.

El Análisis Matemático trata fundamentalmente con funciones de números reales y números complejos. Es fundamental conocer las propiedades de ambos sistemas numéricos. Para ello se procede construyendo los diversos conjuntos numéricos desde el conjunto de los números naturales hasta el de los complejos.

Los prerequisitos son bastante básicos: conocimiento y destreza de la Teoría Intuitiva de Conjuntos (operaciones con conjuntos, relaciones de orden, relaciones de equivalencia, aplicaciones entre conjuntos, inducción). Pueden resultar muy útiles (aunque no imprescindible) nociones de Álgebra Abstracta [[w:%C3%81lgebra_abstractahttp://es.wikiversity.org/wiki/%C3%8]] (definiciones básicas de Teoría de Grupos y de Teoría de Anillos, como anillo, elemento neutro, elemento simétrico, cuerpo, dominio de integridad...) y de topología (w:Topología w:Glosario_de_topología) (espacio métrico, espacio métrico completo, adherencia, acumulación...). En cualquier caso, esta materia proporciona los primeros ejemplos de todos estos conceptos, por lo que no se presupone conocimiento alguno sobre ellos.

Los objetivos fundamentales a alcanzar deberían ser los siguientes:

• Comprender cómo se pueden construir sucesivamente los distintos conjuntos numéricos, con sus operaciones y su orden.

• Obtener un conocimiento profundo sobre la topología del conjunto de los números reales, de su relación con su orden. En especial, de la propiedad de completitud.

• Utilizar con destreza los números complejos, así como adquirir un conocimiento básico sobre sus propiedades.

Funciones reales de una variable.

La asignatura de Análisis de Funciones de Una Variable, o de Cálculo en Una Variable, es tradicionalmente la primera asignatura de Análisis que suele impartirse en las Universidades tradicionales. Existen ciertos tópicos imprescindibles que suelen enmarcarse en esta asignatura.

El desarrollo habitual, tal vez con algún cambio en el orden, sigue el siguiente itinerario:

• Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes. Sucesiones divergentes. Límite de sucesiones.

• Series de números reales. Series de términos positivos, Criterios de convergencia Series alternadas. Series generales.

Suma de algunas series elementales.

• Elementos de funciones de números reales (funciones reales de una variable real). Tipos básicos de funciones: polinómicas, racionales, irracionales, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales, logarítmicas. Límite de una función en un punto. Límite en el infinito. Cálculo de límites.

• Continuidad: continuidad puntual, continuidad sobre un intervalo. Teoremas de Bolzano, de Weierstrass y la propiedad de Darboux para funciones continuas. Continuidad uniforme. Teorema de Heyne. Funciones Lypschitziananas. Funciones contractivas.

• Derivabilidad: funciones derivables en un punto, funciones derivables en un intervalo. Derivadas sucesivas. Teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy y de L'Hôpital. Desarrollos de Taylor. Foŕmulas del resto del polinomio de Taylor. Cálculo de derivadas. Optimización. Esbozo del gráfico de una función.

• Integrabilidad según Riemann: Sumas de Darboux. Sumas de Riemann. Integral de Cauchy-Riemann. Cambio de variable. Teorema de la Media Integral. Regla de Barrow. Teorema Fundamental del Cálculo. Cálculo de primitivas. Integrales impropias.

Sucesiones y series de funciones: Convergencia uniforme. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de una sucesión de funciones. Series de potencias. Series de Taylor. Radio de convergencia. Criterios de convergencia para series de potencias.

y=x³+ 7x² - 5x

Departamento de matemática
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