Ecuaciones diferenciales ordinarias

Introducción

Las ecuaciones diferenciales son relaciones entre formas diferenciales. Se puede (y debe) estudiar la teoría desde el punto de vista de las formas diferenciales. Pero conviene tener antes de comenzar una idea intuitiva de qué es una ecuación diferencial y de qué significa resolverla.

Ejemplo: la gravedad

Todos conocemos la experiencia de dejar caer un objeto. Por ejemplo, si tomamos una piedra y la soltamos en el aire (sin lanzarla), observaremos la caída de la misma. Esto es debido a la aparición de una fuerza, la fuerza gravitatoria, que actúa sobre la piedra para trasladarla desde el punto en que la soltamos hasta un punto en el que no puede seguir bajando.

Recapacitemos algo más sobre este hecho: la gravedad es lo que en Física se denomina un campo vectorial. Si en un punto cualquiera del espacio colocamos una masa, el campo vectorial gravitatorio hará que aparezca una fuerza que actúa sobre esa masa. Así que es como si en cada punto existiera una fuerza en potencia. De ahí que se denomine potencial gravitatorio, porque tenemos una fuerza "en potencia" en cada punto. Según la Mecánica de Newton, toda fuerza es el producto de una masa (escalar, número real) por un vector aceleración. Así, el potencial viene a ser como la aceleración de la fuerza de la gravedad. La fuerza que induce este potencial trasladará la piedra desde el punto inicial hasta un punto final (suelo), haciendo que describa un segmento rectilineo.

¿Qué elementos nos interesan de este ejemplo? Los siguientes: la existencia de un campo vectorial (potencial gravitatorio) y la curva descrita por un objeto abandonado a la acción de ese campo (trayectoria descrita por el objeto, en nuestro caso, el segmento de recta que describe la piedra al caer).

Analicemos un poco más estos puntos: la trayectoria del objeto será una curva, que vendrá expresada mediante una función vectorial de una variable (el parámetro). El vector velocidad del objeto nos indica, intuitivamente, hacia dónde se dirige el objeto en los instantes posteriores. Es decir, el vector tangente a la curva "trayectoria del objeto" (vector velocidad) es lo que nos va a dar la información de cómo se comporta la propia curva. La aceleración del objeto es un vector que nos indica cómo va a variar la velocidad, es decir, nos informa de cómo cambia el vector tangente a la curva. Pero según hemos indicado, precisamente el vector aceleración nos viene dado por el potencial gravitatorio. Es decir, el potencial gravitatorio (lo que solemos denominar simplemente por "gravedad") nos indica, en cada punto, cuál es el vector aceleración de cualquier objeto que se encuentre en ese punto (y que no se vea afectado por otras aceleraciones, claro). Por lo tanto, si no existen otras fuerzas que agreguen sus aceleraciones al objeto, la única aceleración que ese objeto sufre proviene de la gravedad. Dicho de otro modo, si no existen otros campos actuando, el vector tangente (velocidad del objeto) a la curva (trayectoria que el objeto describe al ser abandonado a la acción de la fuerza inducida por el campo) solamente variará en la manera en que indique el campo. Tenemos entonces que, en cada punto del espacio, existe una única trayectoria posible que seguiría un objeto que es abandonado a la acción del campo.

Resolver una ecuación diferencial ordinaria no es otra cosa que la generalización de lo que hemos descrito. Tenemos un campo vectorial, es decir, una aplicación de un abierto de un espacio euclídeo en otro espacio euclídeo, y queremos calcular, fijado un punto, qué curva (trayectoria) que pasa por ese punto determina ese campo. Por supuesto, lo primero que habrá que hacer es dar las condiciones que un campo tiene que cumplir para que "determine" una curva.

Pero, ¿qué quiere decir exactamente la palabra "determinar" en el párrafo anterior? En nuestro ejemplo físico, el campo es la única aceleración que actúa sobre el objeto (bueno, en realidad quien actúa sobre el objeto es la fuerza que produce la aceleración, pero por simplificar la situación, permitámonos ese abuso del lenguaje). La velocidad del objeto varía, en cada punto, según indica la aceleración en ese punto, es decir, según indica el campo en ese punto. Por lo tanto, el vector velocidad de la trayectoria ha de ser paralelo al vector aceleración (porque no actúan otras fuerzas que la determinada por el campo, luego es el campo -al asumir el papel de la aceleración- el que indica cómo varía la aceleración, el campo será "la velocidad de la velocidad" del objeto, la curva tangente a la curva velocidad del objeto). En otras palabras, la curva que buscamos tiene por vector tangente a un vector que es paralelo al campo vectorial en cada punto.

Esencialmente, resolver una ecuación diferencial ordinaria es exactamente lo que acabamos de decir: buscar qué curvas son las que, en cada punto, el vector tangente a la curva es paralela al campo vectorial.