Cálculo y análisis matemático/Límite de una función/Definición de límite

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Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Otra visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

El límite de una función es el valor L que parece tomar f(x) para cierto valor de la x llamado x₀, sin embargo en el mundo de las matemáticas necesitaremos una definición formal que represente lo anterior. Para esto podemos hacer un primer intento y decir que:

Cuando una función f(x) toma valores muy próximos a L cada vez que tomamos una x suficientemente cerca de x0 se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe: $\lim _{x\to x_{0}}\,\,f(x)=L$

en la cual nos damos cuenta que un cálculo es mas sencillo en su sistematización.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta. Su definición se basa en dos parámetros, el primero es la δ (delta), el cual representa cuan cerca se encuentra x de x₀, y el otro es ε (épsilon), el cual representa qué tan cerca se encuentra f(x) de f(x₀) o mejor dicho, ya que vimos en el capítulo anterior que f(x₀) puede no existir,que tan cerca se encuentra de L:

"El límite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y x0 es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos matemáticos y de manera compacta:

${\begin{array}{l}{\underset {x\to x_{0}}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}$

Explicación

Tomando la última definición escrita y dividiéndola, podremos observar el significado de la misma. En primero lugar tenemos la definición formal que subdividiremos en dos partes. La definición es:

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

La primera parte dice:" $\forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0$", lo cual significa que siempre debe existir una δ sin importar que ε tomemos, con la condición de que ambos sean positivos. Esta existencia tiene como primer resultado que sin importar que ε tomemos, siempre existirá una δ, y debido a esta dependencia la mayoría de las veces será posible encontrar una δ(ε), donde la δ es función de ε.

La segunda parte expresa: "$0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$". El significado de esta parte de la definición es más difícil de asimilar. En primer lugar, dice que $0<|x-x_{0}|<\delta$, lo que es lo mismo que decir que x puede estar a una distancia δ de x₀ o más cerca, pero $x-x_{0}\not =0$ por lo que x nunca será igual que x₀. En las gráficas que se muestran se puede observa el punto x₀ representado por c y a, y el punto x puede estar en cualquier lugar entre las líneas que están marcadas a una distancia δ y no solo en donde las líneas cortan al eje.

Por otro lado, esta condición de x implica que: "$|f(x)-L|<\varepsilon$". Esto lo podemos considerar de la manera similar que la parte anterior y decir que la distancia entre f(x) y L es menor que ε, recordando que x puede ser cualquier número entre x-δ y x+δ. Por esto mismo, los valores mas alejados de L pueden ser f(x-δ) y f(x+δ) y deben estar como máximo, pero no necesariamente, a una distancia ε de este.

De forma simple, podemos expresar el significado de esta definición como: No importa que tan pequeño sea el valor de ε, siempre existirá una δ que limitará la distancia de x respecto a x₀, la cual a su vez, limitará los valores de f(x) de tal forma que estos valores estén muy cerca de L. Aquí la clave esta en No importa que tan pequeño sea el valor de ε, pues esto nos garantiza que los valores de f(x) estarán cada vez más y más cerca de L, tan cerca como queramos, incluso infinitamente cerca por lo que el límite es el valor de f(x) cuando x esta infinitamente cerca de x₀.