Cálculo y análisis matemático/Límite de una función/Noción intuitiva de límite

     

Grado de desarrollo: 100% (a fecha de 7 oct 2012)

Concepto de límite

Función cúbica.

El concepto intuitivo de límite es muy simple. Al hablar de límite, hablamos del valor que parece tomar la función f(x) cuando x se aproxima a cualquier $x_{0}$ que consideremos. La razón del "parece" tendrá más sentido después, por ahora consideremos la gráfica que se muestra. Está gráfica corresponde a la ecuación $y=x^{3}$. En este caso podemos tomar por ejemplo $x_{0}=1$ como el $x_{0}$ cualquiera que mencionamos. Podemos ver los valores de f(x) en una tabla de la siguiente forma:

x	f(x)
0	0
0.5	0.125
0.75	0.421875
0.9	0.729
0.99	0.970299
0.999	0.997002999
0.9999	0.999700029999

x	f(x)
2	8
1.5	3.375
1.25	1.953125
1.1	1.331
1.01	1.030301
1.001	1.003003001
1.0001	1.000300030001

Se puede observar, tanto en la gráfica como en la tabla, que cuando x toma valores cercanos a 1, la función f(x) también se aproxima al valor de 1. Esto se puede entender porque $1^{3}=1$ y es de esperarse que cuando x este cerca del 1, la función f(x) también este cerca de este valor. Lo mismo pasa para cualquier otro $x_{0}$ que consideremos.

Pero el hecho de que $f(x)\approx f(x_{0}){\mbox{ cuando }}x\approx x_{0}$ no siempre es cierto. Por ejemplo, al utilizar la función ${(x-1) \over (x-1)}$ podemos observar que cuando si el valor de $x=1{\mbox{, entonces }}f(x)={(0) \over (0)}$, y la función queda indefinida por lo que no le podemos asignar ningún valor, sin embargo con las tablas de valores obtenemos:

x	f(x)
0	1
0.5	1
0.75	1
0.9	1
0.99	1
0.999	1
0.9999	1

x	f(x)
2	1
1.5	1
1.25	1
1.1	1
1.01	1
1.001	1
1.0001	1

Lo cual hace "parecer" que la función se acerca a 1 cuando x también se acerca a 1. En este caso el límite es 1 porque cuando $x_{0}=1$ se puede apreciar en la tabla de valores que $f(x)\approx 1{\mbox{ cuando }}x\approx x_{0}$.

Por ahora podemos decir que si llamamos L al límite de una función para un x₀ cualquiera, podemos decir que $f(x)\approx L{\mbox{ cuando }}x\approx x_{0}$. Por lo tanto, definimos el límite de una función como el número L que cumple esa condición.