Cálculo y análisis matemático/Límite de una función/Unicidad del límite

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Problema Unicidad del Límite

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Como se vio en el capítulo anterior, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe:   para representar

 

Pero ¿una función f(x) tiene solo un límite L cuando x se acerca a x0? ¿podría tener por ejemplo 2, L y M?

Razonamiento

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Supongamos que una función f(x) tiene dos límites distintos en  , esto es:   y al mismo tiempo  , con L ≠ M.

o en la notación más formal:

  y  

Por definición de límite, esto significa:

  •  
  •  

Así, como lo anterior es valido para todo   positivo, también es válido para   y así:

  •  
  •  

Considerando   = mínimo entre  , se tiene que si   implica que se   y  . Así las expresiones anteriores se pueden refundir en:

  •   y al mismo tiempo  

Pero   Así:

  •  

Es decir:

  •  

Esto es una contradicción, pues si L es distinto a M, debe existir al menos un   donde lo anterior no se cumpla