Números naturales/La resta

Lección 4

La resta

La resta o sustracción es la operación inversa de la suma y nos permite calcular la diferencia entre dos números naturales, llamados minuendo y sustraendo. Se denota mediante el símbolo $-$ y tiene la siguiente estructura:

Por ser la operación inversa a la suma, podemos definirla en términos de esta última como el número (diferencia) que debemos sumar al sustraendo para obtener el minuendo. Por ejemplo:

Si tenemos los números naturales $a$, $b$ y $c$, podemos plantear la operación: $a-b=c$ En términos de una suma de la siguiente manera: $b+c=a$

1976-2098

Propiedades

• No es cerrada

La diferencia entrevista dos números naturales pertenece a $\mathbb {N}$ solamente si el minuendo es mayor o igual al sustraendo.

Esto quiere decir el número $c$ en la operación $a-b=c$ pertenece al conjunto de los números naturales ($c\in \mathbb {N}$) solamente si $a\geq b$. Si el sustraendo es mayor al minuendo ($b>a$), la operación no tiene solución en el conjunto de los números naturales. Por ejemplo:

Si tenemos los números $15$ y $10$, su resta cuando $15$ es el minuendo y $10$ el sustraendo está definida en el conjunto de los números naturales ($5\in \mathbb {N}$): $15-10=5$ Pero no tiene solución cuando cuando $10$ es el minuendo y $15$ el sustraendo: $10-15=?$

• No es conmutativa

La resta no es una operación conmutativa.

Lo anterior significa que el resultado de la operación cambiará si se invierte la posición del minuendo y el sustraendo y se visualiza mediante la siguiente fórmula:

$a-b\neq b-a$

De hecho, en el conjunto de los números naturales, solo una de las dos operaciones está definida. Por ejemplo:

Los números 21 y 14 pertenecen al conjunto de los números naturales ($21\in \mathbb {N}$ y $14\in \mathbb {N}$) y su diferencia es igual a $7$ cuando el primero se utiliza como minuendo y el segundo como sustraendo. $21-14=7$ Si embargo, si invertimos su posición, el resultado no está definido en $\mathbb {N}$: $14-21=?$ Por lo tanto: $21-14\neq 14-21$

• No es asociativa

La resta no es una operación asociativa.

Debido a esto, no es posible cambiar el orden en el que se realizan restas sucesivas sin alterar el resultado final de la operación. Es decir:

$(a-b)-c\neq a-(b-c)$

Las operaciones entre paréntesis deben realizarse primero. Este tema se analizará en detalle en la lección sobre combinación de operaciones.

Por ejemplo:

Si tenemos los números $30$, $20$ y $10$ y los restamos de izquierda a derecha (primero le restamos 20 a 30 y luego le restamos 10 al resultado parcial) obtenemos el siguiente resultado: $30-20=10$ $10-10=0$ $(30-20)-10=10-10=0$ Pero obtenemos un resultado diferente si primero le restamos 10 a 20 y luego le restamos ese resultado a 30: $20-10=10$ $30-10=20$ $30-(20-10)=30-10=20$ Por lo tanto: $(30-20)-10\neq 30-(20-10)$ Porque: $0\neq 20$

• No tiene elemento neutro

La resta no tiene elemento neutro.

El número $0$ se comporta como elemento neutro en la sustracción si se ubica en el sustraendo.

$a-0=a$

Sin embargo, ese no es el caso cuando se ubica en el minuendo. Dado $a\neq 0$, la resta siempre estará indefinida en el conjunto de los números naturales porque el sustraendo es mayor al minuendo (el $0$ es el menor elemento de $\mathbb {N}$).

$0-a\notin \mathbb {N}$

Para que un número se pueda considerar neutro con respecto a una operación es necesario que lo sea en ambas posiciones. Esa condición no se cumple en el caso de la resta por lo que se dice que la resta no tiene un elemento neutro en $\mathbb {N}$. Por ejemplo:

Si tenemos el número $17$, vemos que: $17-0=17$ Pero que: $0-17\neq 17$ Por lo que el $0$ no es un elemento neutro.

Distributividad de la multiplicación con respecto a la resta

El producto de una resta de números naturales y otro número natural es igual a la resta de las multiplicaciones del multiplicador por cada uno de los componentes de la resta.

Esta propiedad se mencionó anteriormente en la lección sobre la multiplicación y se puede expresar para tres números naturales ($a$, $b$ y $c$) mediante la siguiente fórmula:

$a\times (b-c)=(a\times b)-(a\times c)$

Al igual que en el caso de la suma, la distributividad se cumple tanto por la derecha como por la izquierda gracias a la conmutatividad de la multiplicación:

$a\times (b-c)=(a\times b)-(a\times c)$

$(b-c)\times a=(b\times a)-(c\times a)$

El el siguiente ejemplo podemos ver la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta en acción:

Si tenemos los números $5$, $3$ y $2$ y queremos calcular la operación $5\times (3-2)$, podemos usar la propiedad distributiva de la multiplicación según se muestra a continuación: $5\times (3-2)$ $=(5\times 3)-(5\times 2)$ $=15-10$ $=5$ Lo que nos da el mismo resultado que si resolvemos la operación sin usar la distributividad: $5\times (3-2)$ $=5\times 1$ $=5$

Al igual que en el caso de la suma, la distributividad se aplica tanto por la izquierda como por la derecha.

Resumen de la lección

• La resta es la operación inversa de la suma por lo mismo su número neutro es el mismo.
• La resta no es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales.
• La resta no es una operación conmutativa en el conjunto de los números naturales.
• La resta no es una operación asociativa en el conjunto de los números naturales.
• La resta en N no tiene elemento neutro.
• La resta es distributiva tanto por la derecha como por la izquierda.

Términos clave

• Resta
• Asociatividad
• Cerradura
• Conmutatividad
• Distributividad
• Elemento neutro

Lecturas adicionales

Aritmética > Operaciones con Números Naturales > Resta de Números Naturales en Wikilibros.

Bibliografía

• Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239. 
• Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909. 
• Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276. 

Proyecto: Números naturales

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