Números naturales/Combinación de operaciones

Lección 7

Combinación de operaciones

Combinar operaciones consiste en realizar cálculos aritméticos que involucran más de un tipo de operación. Pueden ser sumas y restas, restas y multiplicaciones, divisiones y potencias o cualquier otra combinación posible.

Las operaciones combinadas pueden tener más de dos operandos. De hecho, pueden tener tantos operandos como sea necesario para expresar adecuadamente el problema matemático que estemos tratando de resolver.

A continuación podemos ver algunos ejemplos de operaciones combinadas:

$5\times 10-23$

$50\div (10-5)$

$14+3\times 8$

$6^{2}\times 8$

$3\times {\frac {8^{5}}{8^{3}}}+56\times (6\times 11)^{5}-1$

Signos de agrupación

Al resolver operaciones matemáticas debemos efectuar primero las operaciones que se encuentran entre signos de agrupación. Con este propósito se pueden usar:

Los paréntesis: $($ y $)$
Los corchetes: $[$ y $]$
Las llaves: $\{$ y $\}$

Los paréntesis son los símbolos usados más frecuentemente, sin embargo, podemos usar cualquiera de los símbolos anteriores siempre que no exista peligro de confusión con otros usos que puedan tener en las expresiones matemáticas.

Las operaciones entre paréntesis siempre se deben realizar primero. A continuación puedes ver algunos ejemplos:

$(5+8)\times 3=(13)\times 3=39$

$(3\times 4)-9=(12)-9=3$

$(17-7)\div 2=(10)\div 2=5$

${\frac {30}{(18-3)}}={\frac {30}{15}}=2$

$(5+4)^{2}=9^{2}=81$

Una operación puede tener múltiples pares de paréntesis. En esos casos, es necesario resolver primero las operaciones agrupadas con los paréntesis más internos.

$\left({\frac {12}{(9-6)}}\right)^{2}=\left({\frac {12}{3}}\right)^{2}=4^{2}=16$

$(5+3)\times (45-(15+10))=(8)\times (45-(25))=8\times 20=160$

$((5+5)-(3+3))\times 5=((10)-(6))\times 5=(10-6)\times 5=(4)\times 5=20$

$((50-25)-4)\div (25-(20+2))=((25)-4)\div (25-(22))=21\div 3=7$

Si dos dos operaciones agrupadas con paréntesis se combinan con una multiplicación, es frecuente omitir el signo de multiplicación.

$5\times (12-4)=5(12-4)=5\times 8=40$

$(12+3)\times (12-3)=(12+3)(12-3)=15\times 9=135$

$\left({\frac {15}{3}}\right)\times (8+2)=\left({\frac {15}{3}}\right)(8+2)=5\times 10=50$

Precedencia de los operadores

Las operaciones combinadas pueden incluir múltiples operadores que no están organizados con símbolos de agrupación. Por ejemplo:

$5+8\times 9-7$

$3^{7}\times 8\div 4$

${\frac {9^{2}}{3^{3}}}\times 8+3^{4}$

$1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+8\times 5$

En este caso las operaciones se deben resolver en el siguiente orden:

Potenciaciones
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas

En el siguiente ejemplo tenemos una suma y una multiplicación. La multiplicación tiene mayor prioridad que las sumas y las restas, por eso la resolvemos primero.

$3+4\times 5$

$=3+20$

$=23$

En este otro ejemplo debemos resolver la potencia primero porque tiene la mayor prioridad. Luego resolvemos la división y la multiplicaciones y finalmente la suma y la resta.

$21^{2}\div 7+4\times 5^{2}$

$=441\div 7+4\times 25$

$=63+100$

$=163$

Orden de evaluación

Una operación con múltiples operadores de la misma prioridad se debe resolver de izquierda a derecha.

$5+11-4-3+12$

$=16-4-3+12$

$=12-3+12$

$=9+12$

$=21$

Esto aplica tanto para las sumas y las restas como para las divisiones y multiplicaciones.

$5\times 32\div 8\times 3\div 5\times 3$

$=5\times 32\div 8\times 3\div 5\times 3$

$=160\div 8\times 3\div 5\times 3$

$=20\times 3\div 5\times 3$

$=12\times 3$

$=36$

Las operaciones que contienen múltiples operadores de diferentes tipos deben resolverse combinando ambos métodos:

Se seleccionan los operadores de mayor prioridad y se resuelven.
Si hay varios operadores de la misma precedencia de forma consecutiva en la operación, se resuelven de izquierda a derecha.
Una vez que se han resuelto las operaciones de mayor precedencia, se procede con las operaciones del siguiente nivel siguiendo los pasos 1 y 2.
Se repiten los pasos 1, 2 y 3 hasta resolver la operación por completo.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del procedimiento anterior para resolver una operación con varias operaciones de tipos diferentes.

Para resolver la operación:

$500-4+12\times 6\div 3-8^{2}\times 4-8+7$

Primero calculamos el resultado de elevar 8 al cuadrado por ser la operación de mayor precedencia (paso 1):

$=500-4+12\times 6\div 3-64\times 4-8+7$

Como no hay más potencias, saltamos el paso 2 y procedemos a resolver las operaciones del siguiente nivel de precedencia (paso 3): las divisiones y las multiplicaciones.
Tenemos dos casos. Primero resolvemos el caso más sencillo: $64\times 4$ :

$=500-4+12\times 6\div 3-256-8+7$

En el otro caso tenemos dos operaciones de la misma precedencia: $12\times 6\div 3$ . Aquí aplicamos el paso número 2 y las resolvemos de izquierda a derecha.

$=500-4+72\div 3-256-8+7$

$=500-4+24-256-8+7$

Finalmente nos quedan solo sumas y restas por lo que procedemos a resolver la operación evaluándolas de izquierda a derecha:

$=500-4+24-256-8+7$

$=496+24-256-8+7$

$=520-256-8+7$

$=264-8+7$

$=256+7$

$=263$

Resumen de la lección

Varios tipos diferentes de operaciones se pueden combinar en la misma expresión aritmética.
Los paréntesis, corchetes y llaves se pueden usar como signos de agrupación.
Las operaciones entre paréntesis se deben realizar primero.
Si una expresión tiene múltiples pares de paréntesis, se deben resolver primero los más internos.
El símbolo de la multiplicación se puede omitir si combina dos operaciones agrupadas con paréntesis.
En las operaciones combinadas se deben resolver primero las potencias, luego las multiplicaciones y las divisiones y finalmente las sumas y las restas.
Cuando hay múltiples operadores de la misma prioridad, estos se deben resolver de izquierda a derecha.

Términos clave

Lecturas adicionales

Khan Academy > Español > Introducción al orden de las operaciones

Bibliografía

Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239.
Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909.
Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276.

Proyecto: Números naturales

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