Números naturales/La multiplicación

Lección 3

La multiplicación

La multiplicación o producto de dos números naturales es una forma abreviada de expresar la suma repetida de un número. Si $a$ y $b$ son números naturales, su multiplicación se define como la suma repetida del número $a$ una cantidad de veces igual al número $b$ :

$a\times b=\underbrace {a+a+a+...+a} _{\text{«b» sumandos}}=c$

La operación se denota con el símbolo $\times$ y tiene la siguiente forma:

$\underbrace {a} _{\text{Multiplicando}}\overbrace {\times } ^{\text{Operador}}\underbrace {b} _{\text{Multiplicador}}\overbrace {=} ^{\text{Igualdad}}\underbrace {c} _{\text{Producto}}$

El «multiplicando» y el «multiplicador» también reciben el nombre de «factores».

Propiedades

Cerrada

Toda multiplicación de dos números naturales nos da como resultado otro número natural.

Al igual que en el caso de la suma, el resultado o producto de una multiplicación será otro número natural siempre que los factores pertenezcan a ese conjunto.

Por ejemplo:

Los números 6 y 7 son números naturales en la siguiente multiplicación y por lo tanto el resultado de la operación también es un número natural.

$6\times 7=42$

Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

El resultado de multiplicar dos números naturales a y b (

a\in \mathbb {N}

y

b\in \mathbb {N}

) será el mismo sin importar si colocamos el número

a

primero y el número

b

después o si invertimos el orden. Esta propiedad se puede expresar de la siguiente manera usando una fórmula:

a\times b=b\times a

Por ejemplo:

Los números 8 y 9 son números naturales ( $8\in \mathbb {N}$ y $9\in \mathbb {N}$ ) y por tanto su producto será el mismo sin importar el orden en que se encuentren en la operación:

$8\times 9=72$

$9\times 8=72$

$8\times 9=9\times 8=72$

Asociativa

El producto total de una multiplicación no varía si se reemplazan dos o más de los factores por su producto parcial.

Al igual que la suma, la multiplicación es una operación binaria (solo intervienen dos factores). Para multiplicar más de dos factores es necesario asociarlos consecutivamente para realizar la operación mediante varias multiplicaciones de dos factores.

La propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que sin importar el orden en que realicemos las multiplicaciones parciales, el resultado final de la operación no cambiará. Esta propiedad se puede describir mediante una fórmula de la siguiente manera:

Si $a\in \mathbb {N}$ , $b\in \mathbb {N}$ y $c\in \mathbb {N}$ , entonces:

$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

Por ejemplo:

Si tenemos los números $7$ , $8$ y $9$ , las siguientes operaciones:

$7\times 8=56$

$56\times 9=504$

producen el mismo resultado que estas otras:

$8\times 9=72$

$7\times 72=504$

De forma que:

$(7\times 8)\times 9=7\times (8\times 9)=504$

Elemento neutro

El $1$ es el elemento neutro multiplicativo en el conjunto de los números naturales ( $\mathbb {N}$ )

Esto quiere decir que si

a

es un número natural y lo multiplicamos por el número

1

, el resultado de la operación será igual al número original (

a

).

Por ejemplo:

Si tenemos el número $48$ y lo multiplicamos por $1$ , el resultado de la operación será $48$ :

$48\times 1=48$

Por la propiedad conmutativa, el elemento neutro también puede ser el primer factor de la operación:

$1\times 48=48$

Elemento absorbente

El $0$ es el elemento absorbente con respecto a la multiplicación en el conjunto de los números naturales ( $\mathbb {N}$ )

Por esta propiedad, el producto de las multiplicaciones de números naturales es igual a

0

si al menos uno de los factores es igual a

0

.

Por ejemplo:

Si tenemos el número $81$ y lo multiplicamos por $0$ , el resultado de la operación será $0$ :

$81\times 0=0$

Por la propiedad conmutativa, el elemento absorbente también puede ser el primer factor de la operación:

$0\times 81=0$

Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

El producto de una suma de números naturales y otro número natural es igual a la suma de las multiplicaciones del multiplicador por cada uno de los sumandos.

Esta propiedad se puede expresar para tres números naturales ( $a$ , $b$ y $c$ ) mediante la siguiente fórmula:

a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)

Las operaciones entre paréntesis deben realizarse primero. Este tema se analizará en detalle en la lección sobre combinación de operaciones.

Por ejemplo:

Si tenemos los números $5$ , $7$ y $11$ y queremos calcular la operación $5\times (7+11)$ , podemos usar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma para obtener el resultado de dos formas diferentes.
Sin usar la propiedad distributiva, podemos calcular el resultado de la siguiente manera:

$5\times (7+11)$

$=5\times 18$

$=90$

Usando la distributivididad, podemos hacerlo de esta manera:

$5\times (7+11)$

$=(5\times 7)+(5\times 11)$

$=35+55$

$=90$

Observe que en ambos casos obtenemos el mismo resultado por lo que podemos decir:

$5\times (7+11)=(5\times 7)+(5\times 11)=90$

Es importante tener en cuenta que la distributividad no es una propiedad específica de la multiplicación. Está definida con respecto a la suma y a la resta de números naturales.

También es importante observar que gracias a la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos aplicar la ditributividad tanto por la derecha como por la izquierda de la suma.

Por ejemplo:

Si tenemos los números $11$ , $13$ y $17$ y queremos calcular la operación $(11+13)\times 17$ , podemos aplicar la propiedad conmutativa primero:

$(11+13)\times 17$

$17\times (11+13)$

Y luego aplicar la propiedad distributiva de la forma en que lo hicimos en el ejemplo anterior:

$17\times (11+13)$

$=(17\times 11)+(17\times 13)$

$=187+221$

$=408$

Este ejemplo nos muestra que la distributividad se cumple tanto por la derecha como por la izquierda:

a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)

(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)

Resumen de la lección

La multiplicación es una forma abreviada de expresar la suma repetida de un número.
La multiplicación es una operación cerrada en el conjunto de los números naturales.
La multiplicación es una operación conmutativa porque el orden de los factores no altera el producto.
El 1 es el elemento neutro multiplicativo en el conjunto de los números naturales.
El 0 es el elemento absorbente en la multiplicación de números naturales.
La multiplicación es una operación asociativa en el conjunto de los números naturales.
La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y la resta en el conjunto de los números naturales.

Términos clave

Bibliografía

Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239.
Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909.
Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276.

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