Mecánica Teórica

Introducción

La Mecánica es una disciplina imprescindible para el estudio y comprensión de la Física a cualquier nivel. Más aún, es imposible estudiar física mínimamente moderna (relatividad, mecánica cuántica) sin tener una base sólida de ésta disciplina, que por otra parte no requiere técnicas matemáticas avanzadas.

La mayor parte de este curso puede seguirse suponiendo los siguientes conocimientos físicos y matemáticos:

• Física General preuniversitaria (dinámica de la partícula puntual, nociones de campos y de sólido rígido, ecuaciones de Maxwell).
• Cálculo diferencial e integral en una y varias variables.
• Ciertas nociones sobre Ecuaciones Diferenciales, principalmente sobre E.D. Ordinarias (E.D.O.s), aunque ocasionalmente también sobre E.D.P.s (ecs. en derivadas parciales).
• Existen tres formulaciones diferentes de la mecánica clásica:

• La Mecánica Newtoniana
• La Mecánica Lagrangiana
• La Mecánica Hamiltoniana

Mecánica newtoniana

Definiciones

• La Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento, es decir, el hecho de que determinadas propiedades de los objetos (posición, cantidad de movimiento, ...) cambien con el tiempo, y el cómo lo hacen.
• En Mecánica se emplea frecuentemente una abstracción llamada partícula puntual, que corresponde a un ente que posee todas las propiedades de las que se ocupa la mecánica, pero que no posee dimensiones (no ocupa espacio). Pese a que los objetos del mundo cotidiano no cumplen esta peculiaridad (dado que poseen dimensiones), esta abstracción es de gran utilidad en mecánica, ya que a menudo las dimensiones de un objeto son suficientemente pequeñas en comparación con las demás dimensiones características del problema a tratar que pueden despreciarse sin problemas. Además, esta abstracción funciona espectacularmente bien cuando se aplica al mundo subatómico, hasta el punto de que habitualmente se considera que las partículas elementales son objetos realmente puntuales.

Leyes de Newton

Se basa en tres leyes, que son en realidad definiciones de los conceptos fundamentales que en ellas aparecen. Así, la primera ley es en realidad una definición de qué es una fuerza, mientras que la segunda define lo que entendemos por cantidad de movimiento.

Leyes de Newton

Oscilaciones armónicas

Colisiones

Las tres leyes de Newton pueden enunciarse del siguiente modo:

1. Todo cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme permanece en dicho estado a menos que una fuerza lo modifique.
2. La aceleración de un cuerpo (variación de su estado de reposo o movimiento) es proporcional a la magnitud de las fuerzas que actúan sobre él, en dirección y sentido de la suma de todas ellas, e inversamente proporcional a la masa de dicho cuerpo.
3. Al aplicar una fuerza sobre un objeto, este responde a ella mediante otra de igual magnitud y sentido opuesto (Principio de Acción-Reacción).

Motivación: Coordenadas generalizadas. Ligaduras

El concepto de ligaduras puede también ser estudiado en las diversas fuentes bibliográficas como apoyo, conexión, sujeción, enlace.

De forma general se refiere a la manera con que los cuerpos sólidos se vinculan con otros cuerpos, limitando así sus posibilidades de movimiento o grados de libertad. Si miramos a nuestro alrededor podemos ver una infinidad de cuerpos, la mayoría en equilibrio, otros se mueven por trayectorias obligadas, pues de una forma u otra están ligados, apoyados o sujetos a otros cuerpos.

Un libro descansa sobre una mesa, la mesa sobre el piso, un árbol está empotrado (sujeto firmemente) en la tierra, un avión se apoya en el aire, al igual que un ave en vuelo. Un barco se apoya en el agua y la empuja hacia atrás para poder avanzar hacia el frente, hasta los planetas y galaxias están apoyados por descomunales fuerzas de atracción que los obligan a moverse por trayectorias predefinidas y calculadas por la ciencia.

Estrechando nuestro campo a la mecánica técnica podemos decir que todos los elementos que se mueven dentro de cualquier mecanismo o máquina lo hacen por trayectorias calculadas gracias a los apoyos o conexiones que lo sujetan. Un cigüeñal, una biela, un pistón, una rueda dentada, una palanca, etc, y estos se sujetan o apoyan mediante pasadores, tornillos, contactos con superficies, cojinetes, etc.

Las fuerzas conque los apoyos sujetan los cuerpos para limitar el desplazamiento, se llama reacción en los apoyos y es objetivo fundamental en mecánica su cálculo y diseño, a fin de evitar posibles roturas en las construcciones.

Una de las formas más aceptadas en cuanto a la clasificación de los apoyos para su estudio, divide estos en el plano y en el espacio. El plano esta relacionado con el estudio de sólidos solo en dos dimensiones, es decir, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo pueden ser ubicadas en dos ejes: X (horizontal) e Y (vertical). Para el espacio se deberá tener en cuenta la profundidad. por tanto el sistema de coordenadas de referencia tendrá además un tercer eje denominado comúnmente Z y dirigido perpendiculermente al plano XY.

Mecánica Lagrangiana

Es una formulación más abstracta y general, que permite el uso en igualdad de condiciones de sistemas inerciales o no inerciales, sin que, a diferencia de las leyes de Newton, la forma básica de las ecuaciones cambie. Esto se debe a que en mecánica lagrangiana el movimiento de las las partículas en coordenadas generales sobre el fibrado tangente del llamado espacio de configuración.

Mecánica Hamiltoniana

Es otra formulación abstracta, similar a la mecánica lagrangiana, donde el movimiento de las partículas se modeliza sobre el llamado espacio físico, que es variedad simpléctica. Este enfoque es particularmente adecuado para construir la mecánica estadística clásica.