Mecánica Hamiltoniana

La mecánica de Hamilton , creada por el físico irlandés William R. Hamilton

Explicación

Al realizar esta transformación, la ecuación de movimiento de Lagrange:

$\left({\frac {\partial {L}}{\partial {q}}}\right)-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {q}}}}\right)=0$

inmediatamente se convierte en ${\dot {p}}=-\left({\frac {\partial {H}}{\partial {q}}}\right)$

Además tenemos, considerando $p$ y ${\dot {q}}$ como una variables independientes, y luego la definición del hamiltoniano será: ${\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}$.

Al final, con la transformación usando el impulso generalizado , la ecuación del movimiento de Lagrange es equivalente a las dos ecuaciones llamadas de Hamilton :

${\dot {q}}=\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)$, y ${\dot {p}}=-\left({\frac {\partial H}{\partial q}}\right)$.

Por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton constituyen un sistema de ecuaciones de primer orden, estrictamente equivalentes a la ecuación de Lagrange y, por lo tanto, al principio de menor acción. Además, las nuevas "coordenadas" $q$ y $p$ juegan un papel simétrico, lo que no era el caso de las coordenadas y velocidades generalizadas $q$ y ${\dot {q}}$ del formalismo de Lagrange.

Decimos que $q$ y $p$ son conjugados entre sí, porque la derivada temporal de uno se obtiene por derivación parcial del otro de las $H(q,p,t)$ de Hamilton.

Finalmente, es posible llevar a cabo el cambio de las variables conjugadas $Q=-p$ y $P=q$ que son, por lo tanto, ecuaciones idénticas a las de Hamilton. En consecuencia, es posible intercambiar los roles entre coordenadas e impulso generalizado en el formalismo hamiltoniano, mientras que esto no es posible con la velocidad generalizada en el marco lagrangiano.