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Lógica proposicional/Equivalencias

Lección 8
Equivalencias

En todas las áreas de las matemáticas necesitamos mecanismos para saber cuando dos entidades son iguales o esencialmente las mismas. En la lógica proposicional este concepto se llama equivalencia y se da entre dos proposiciones cuando ambas siempre tienen el mismo valor de verdad para una misma asignación de valores de verdad de las proposiciones que las componen.[1]

Equivalencia lógicaEditar

Una proposición es lógicamente equivalente a otra cuando cada una de las asignaciones de valores de verdad a las proposiciones simples que las componen genera el mismo valor de verdad en ambas proposiciones.[2] En otras palabras, dos expresiones son lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son iguales.[1]

La equivalencia lógica se representa con el símbolo [3] y significa que podemos reemplazar una expresión con su equivalente ya que ambas generan la misma tabla de verdad. La expresión nos indica que podemos reemplazar cualquier ocurrencia de con sin alterar los valores de las expresiones donde hacemos el cambio o la validez de los procesos de razonamiento donde las utilizamos.

Equivalencia materialEditar

La equivalencia material es una conectiva lógica representada con el símbolo cuyo valor de verdad es si las proposiciones a las que se aplica tienen el mismo valor de verdad y tiene un valor de verdad si los valores de verdad de las proposiciones son diferentes.[2] Podemos representar el comportamiento de la conectiva con la siguiente tabla de verdad:

En lenguaje natural esta conectiva está aproximadamente representada con la expresión «si y solo si» y se le suele denominar bicondicional o doble implicación. Estos nombres se deben a que es lógicamente equivalente a la conjunción de dos implicaciones donde el antecedente de una es el consecuente de otra y el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda.[1] Esta relación la podemos ver con más claridad en la siguiente tabla:

Dado que y tienen la misma tabla de verdad, podemos decir que son lógicamente equivalentes: .

Diferencia entre la equivalencia lógica y la equivalencia materialEditar

La equivalencia lógica y la equivalencia material son conceptos relacionados pero no son la misma cosa y no se pueden usar de forma intercambiable. La equivalencia lógica nos permite reemplazar unas proposiciones lógicas por otras siempre que las tablas de verdad que generan sean iguales. La equivalencia material nos permite construir expresiones complejas y puede tener valores de verdad diferentes dependiendo de los valores de verdad de las expresiones a las que se aplica.

Una equivalencia material puede tener un valor de verdad falso () si se aplica a expresiones con diferentes valores de verdad. Por ejemplo, si la proposición tiene un valor de verdad y la proposición tiene un valor de verdad , la expresión es válida y tiene un valor de verdad . Pero no podemos aplicar una equivalencia lógica en este caso porque las tablas de verdad de y no son iguales. Solo podemos decir que no existe una equivalencia lógica entre y .

La equivalencia material se puede definir en términos de dos implicaciones y una conjunción usando el concepto de equivalencia lógica, de la forma explicada en la sección anterior. Igualmente podemos definir la equivalencia lógica usando la equivalencia material si consideramos que dos expresiones son lógicamente equivalentes () cuando la equivalencia material () construida con ellas es una tautología.

Por ejemplo, en la siguiente tabla de verdad podemos ver que la equivalencia material de la expresión y de la expresión es una tautología ya que ambas generan los mismos valores de verdad para cada asignación de valores de verdad a las proposiciones simples que las componen y por lo tanto podemos decir que son lógicamente equivalentes:

Podemos identificar claramente el concepto que estamos usando en un momento determinado de la siguiente manera:

  • Si reemplazamos una expresión con otra durante un proceso de razonamiento entonces estamos usando una equivalencia lógica
  • Si construimos proposiciones compuestas usando el símbolo entonces estamos usando una equivalencia material

Equivalencias de uso más frecuenteEditar

Existe una cantidad infinita de pares de expresiones que son equivalentes lógicamente, pero existe un conjunto reducido que es usado con mucha frecuencia en los procesos de razonamiento y comúnmente se les llama «propiedades del álgebra de proposiciones» o «leyes de la lógica».[1]

comentario En esta tabla las letras y representan los valores de verdad verdadero y falso respectivamente. No deben confundirse con las proposiciones simples representadas con esas letras.

Equivalencia Nombre
Neutro de la conjunción
Neutro de la disyunción
Dominación de la conjunción
Dominación de la disyunción
Inversa de la conjunción
Inversa de la disyunción
Idempotencia de la conjunción
Idempotencia de la disyunción
Absorción de la conjunción
Absorción de la disyunción
Doble negación
Ley de De Morgan para la conjunción
Ley de De Morgan para la disyunción
Conmutatividad de la conjunción
Conmutatividad de la disyunción
Asociatividad de la conjunción
Asociatividad de la disyunción
Distributividad de la conjunción
Distributividad de la disyunción
Contraposición lógica
Implicación material
Definición de equivalencia material

Resumen de la lecciónEditar

  • La equivalencia lógica permite reemplazar una expresión con otra si ambas generan la misma tabla de verdad.
  • La equivalencia material es una conectiva lógica que es verdadera si las dos proposiciones a las que se aplica tienen el mismo valor de verdad y falsa si las proposiciones tienen valores de verdad diferentes.
  • Dos expresiones son lógicamente equivalentes ( ) cuando la equivalencia material ( ) construida con ellas es una tautología.
  • Las «propiedades del álgebra de proposiciones» o «leyes de la lógica» son equivalencias lógicas.

Términos claveEditar

BibliografíaEditar

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2. 
  2. 2,0 2,1 Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015. 
  3. Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015. 


Proyecto: Lógica proposicional
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