Lógica proposicional/Proposiciones

Lección 1

Proposiciones

Para comunicarnos, ya sea de forma escrita o verbal, usamos enunciados. Los enunciados son las unidades mínimas del lenguaje que pueden transmitir un mensaje y pueden ser aseverativos, imperativos, interrogativos o exclamativos. Los enunciados imperativos transmiten una orden, los interrogativos solicitan información, los exclamativos expresan emociones y los aseverativos que transmiten información que se puede evaluar como falsa o verdadera.^[1] Los siguientes son ejemplos de los diferentes tipos de enunciados:

Enunciado	Tipo	Explicación
¡Ven a verme!	Imperativo	Le damos una orden o instrucción a otra persona para que ejecute una acción.
¡Viva la libertad!	Exclamativo	Expresamos una emoción, en este caso en particular expresamos un deseo: queremos que la libertad viva.
¿Está lloviendo?	Interrogativo	Solicitamos información sobre un evento o situación. En este caso queremos saber si llueve o no.
El trabajo es muy complicado.	Aseverativo	Transmitimos información que puede ser falsa o verdadera. En este caso puede ser cierto que el trabajo sea complicado, o puede ser falso, y el trabajo en realidad es sencillo.

En la lógica proposicional nos interesan los enunciados aseverativos y se les llama proposiciones. La lógica se interesa por este tipo de enunciados porque se les puede asignar un valor de verdad, ya sea falso (la información es incorrecta) o verdadero (la información es correcta). En este proyecto de aprendizaje nos interesan únicamente las expresiones aseverativas o proposiciones que cumplen con estas características:^[2]

Solo pueden tener uno de los siguientes valores de verdad:
- Verdadero: Usualmente representado con la letra $V$ .
- Falso: Usualmente representado con la letra $F$ .
No pueden ser falsas y verdaderas al mismo tiempo.
Su valor de verdad depende únicamente de las proposiciones mismas y no de factores externos.

Los siguientes son algunos ejemplos de proposiciones con sus correspondientes valores de verdad:

Proposición	Valor de verdad
El año empieza con el mes de enero.	$V$
Cuando está soleado se siente calor.	$V$
En invierno no es agradable sentir el frío.	$V$
1 + 1 = 2	$V$
Marte está lleno de marcianitos.	$F$
5 * 9 = 59	$F$

Las primeras cuatro proposiciones son verdaderas y se dice que su valor es $V$ , mientras que las últimas dos son falsas y su valor es $F$ . Dentro de las proposiciones verdaderas, la última (1+1=2) no representa ninguna palabra o frase, sin embargo es una expresión matemática verdadera. Y lo mismo pasa con la proposición (5*9=59), cuyo valor lógico es falso. No es necesario que una proposición sea una expresión verbal, simplemente necesitamos poder determinar el valor de verdadero o falso.

Representación

Como la lógica proposicional no se ocupa de las relaciones entre las proposiciones ni de características que estas puedan tener además de su valor de verdad, podemos representarlas utilizando letras sencillas.^[3] Por ejemplo, podemos usar la letra $A$ para representar alguna de las siguientes afirmaciones dependiendo del trabajo que estamos realizando:

Mi perro es negro.
La tierra es una esfera.

Sin embargo, en un momento dado $A$ solo puede representar una de las proposiciones. Si necesitamos representarlas ambas en el mismo trabajo debemos usar letras adicionales como $B$ , $C$ o $Z$ y si se nos acaban las letras podemos usar subíndices: $B_{12}$ .:^[3]

$A=$ Mi perro es negro.
$B=$ La tierra es una esfera.

Usar letras mayúsculas del alfabeto latino es simplemente una convención y no hay nada que nos impida utilizar otro tipo de elementos para representar las proposiciones y de hecho otros textos o cursos sobre lógica proposicional usan otras convenciones.^[4] Por ejemplo, podríamos usar letras minúsculas, pequeñas figuras geométricas, los símbolos de las cartas (♠, ♣, ♥ y ♦) o letras del alfabeto cirílico (Ж, Й, Б, etc.)

Otra convención útil que adoptaremos es usar letras minúsculas del alfabeto griego para representar proposiciones genéricas. Una letra mayúscula como $J$ representa una proposición específica como «existe vida en otros planetas» aunque su valor de verdad puede ser desconocido para nosotros. Por su parte, una letra minúscula griega como $\alpha$ o como $\beta$ representan una proposición (o una combinación válida de proposiciones) genérica y se usan comúnmente para describir el lenguaje y métodos de la lógica proposicional.

Proposiciones compuestas

Las proposiciones individuales se llaman proposiciones primitivas ya que no es posible descomponerlas en elementos más sencillos. Sin embargo, si es posible combinarlas para crear estructuras más complejas.^[4] Por ejemplo, podemos afirmar cosas como: «mi carro es rojo» y «el elefante es grande» y combinar ambas proposiciones de diversas maneras:

Mi carro es rojo y el elefante es grande.
Mi carro es rojo o el elefante es grande.
Si el elefante es grande entonces mi carro es rojo.
No es cierto que mi carro es rojo o que el elefante es grande.

Si le asignamos la letra $A$ a la afirmación «mi carro es rojo» y la letra $B$ a la afirmación «el elefante es grande», los ejemplos anteriores se representarían así:

$A$ y $B$ .
$A$ o $B$ .
Si $B$ entonces $A$ .
No es cierto que $A$ o que $B$ .

Las palabras que aparecen entre las letras representando las proposiciones se llaman conectivas lógicas y tienen significados precisos que conoceremos en las próximas lecciones. Las conectivas son las que permiten que combinemos las proposiciones y que descubramos información nueva a partir de la existente mediante procesos de razonamiento estructurado.^[4]

Resumen de la lección

Las proposiciones son enunciados aseverativos que transmiten información.
Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas pero no pueden tener ambos valores al mismo tiempo.
Las proposiciones no pueden tener ningún valor de verdad que no sea verdadero ( $V$ ) o falso ( $F$ ).
Las proposiciones se representan con letras individuales ya que solo su valor de verdad es de interés en este contexto.
Las conectivas lógicas nos permiten combinar proposiciones.

Términos clave

Bibliografía

↑ Real Academia Española, ed. (2010). Nueva gramática de la lengua española. Manual (1.ª edición). Madrid, España: Espasa Libros. p. 993. ISBN 978-607-07-0360-7.
↑ Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.
↑ ^3,0 ^3,1 Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.

Proyecto: Lógica proposicional

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[rae2010-1] Real Academia Española, ed. (2010). Nueva gramática de la lengua española. Manual (1.ª edición). Madrid, España: Espasa Libros. p. 993. ISBN 978-607-07-0360-7.

[klement-2] Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.

[lau-3] 3,0 ^3,1 Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.

[grimaldi1998-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.

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