Lógica proposicional/Tablas de verdad

Lección 7

Tablas de verdad

Una tabla de verdad lista todos los posibles valores de una o varias proposiciones simples y el valor de verdad de una o varias proposiciones compuestas construidas a partir de las proposiciones simples.^[1] En el caso más sencillo tenemos satiro simplemente una proposición simple y listamos los valores de verdad que puede tener, que en el caso de la lógica proposicional son únicamente 2: verdadero ( $V$ ) y falso ( $F$ ).^[2]

${\boldsymbol {\alpha }}$
V
F

La tabla de verdad llega a poder incluir tantas proposiciones simples como sea necesario, cada listada en su propia columna. La tabla debe tener una fila por cada combinación de valores de verdad de las proposiciones simples. Si la tabla incluye dos proposiciones simples deberá tener 4 filas, si incluye 3 variables deberá tener 8 filas, si incluye 4 variables deberá tener 16 filas y así sucesivamente. En general una tabla debe tener $2^{n}$ filas, donde $n$ es la cantidad de proposiciones simples.^[3] Por ejemplo, la siguiente tabla tiene 3 proposiciones simples y por lo tanto debe tener $2^{3}=8$ filas, una para cada una de las combinaciones de valores de verdad de las proposiciones.

${\boldsymbol {\alpha }}$	${\boldsymbol {\beta }}$	${\boldsymbol {\gamma }}$
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Una vez que hemos listado las combinaciones de valores de verdad, podemos usar la tabla para calcular los posibles valores de verdad de proposiciones compuestas. Para hacer eso agregamos columnas adicionales con proposiciones compuestas que dependen únicamente de las proposiciones a su izquierda. En los casos más sencillos aplicamos solamente una conectiva lógica a las proposiciones simples. Por ejemplo, si tenemos las proposiciones $P$ y $Q$ y les aplicamos una conjunción $P\land Q$ , la tabla de verdad resultante será:

$P$	$Q$	$P\land Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Para crear la tabla de verdad de una proposición más compleja debemos:

Separar la proposición en proposiciones cada vez más sencillas. Para hacer esto debemos analizar la proposición usando el método descrito en la lección 6.
Agregar una columna en la tabla de verdad por cada «subproposición». Las columnas se deben organizar de forma que las proposiciones correspondientes solo dependan de las proposiciones simples y de las subproposiciones que se encuentran a su izquierda.
Calcular los valores de verdad para cada una de las subproposiciones hasta llegar a la proposición original.

Para ilustrar el procedimiento tomaremos la siguiente proposición y crearemos la tabla de verdad correspondiente: $(\neg (C\land \neg D)\lor E)$ . Lo primero que debemos hacer es separarla en sus componentes. En este caso tenemos 3 proposiciones atómicas, la negación de una de ellas, la conjunción de la negación con otra proposición atómica, la negación de la conjunción y la disyunción:

$C$
$D$
$E$
$\neg D$
$(C\land \neg D)$
$\neg (C\land \neg D)$
$(\neg (C\land \neg D)\lor E)$

Una vez que hemos identificado las «subproposiciones» las organizamos en la tabla de verdad. Iniciamos con las proposiciones simples y agregamos una columna por cada una de las subproposiciones compuestas. Dado que tenemos 3 proposiciones simples debemos crear la tabla con 8 filas ( $2^{3}=8$ ) y listar todas las posibles combinaciones de sus valores de verdad.

$C$	$D$	$E$
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Finalmente procedemos a calcular los valores de verdad de las proposiciones compuestas. Iniciamos por la columna de la izquierda y procedemos hacia la derecha una columna a la vez. En este ejemplo lo primero que debemos hacer es calcular los valores de verdad de la expresión $\neg D$ usando la definición de la negación estudiada en la lección 2. Una vez que tenemos el valor de esta proposición podemos calcular el valor de su conjunción con la proposición $C$ usando la definición de conjunción previamente estudiada (lección 3) y así sucesivamente hasta llegar a la columna de la extrema derecha, que nos da los valores de verdad para la proposición compuesta que nos interesa.

$C$	$D$	$E$	$\neg D$	$(C\land \neg D)$	$\neg (C\land \neg D)$	$(\neg (C\land \neg D)\lor E)$
V	V	V	F	F	V	V
V	V	F	F	F	V	V
V	F	V	V	V	F	V
V	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	F	V	V
F	V	F	F	F	V	V
F	F	V	V	F	V	V
F	F	F	V	F	V	V

La tabla de verdad resultante nos muestra los valores de verdad de la expresión para cada una de las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la confirman. En el caso de $(\neg (C\land \neg D)\lor E)$ podemos ver que la expresión tiene un valor de verdad $V$ en casi todos los casos. La única condición en la que la expresión tiene un valor de verdad $F$ es cuando la proposición $C$ es verdadera ( $V$ ) y las proposiciones $D$ y $E$ son falsas ( $F$ ).

Tipos de proposiciones el punto que lo lea

Podemos clasificar las proposiciones compuestas en tres categorías diferentes usando las características de sus tablas de verdad: tautologías, contradicciones y contingencias.

Una tautología es una proposición cuya tabla de verdad siempre es $V$ para todos los casos posibles, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.^[4] Por ejemplo, la proposición $A\Rightarrow (A\lor B)$ es verdadera para todas las posibles asignaciones de valores de verdad de las proposiciones $A$ y $B$ , tal y como lo podemos ver en su tabla de verdad.

$A$	$B$	$A\lor B$	$A\Rightarrow (A\lor B)$
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	V

Una contradicción es el caso opuesto a una tautología. Su valor de verdad es $F$ para todos los valores de su tabla de verdad sin importar el valor de las proposiciones que la forman.^[4] La siguiente tabla de verdad nos muestra que la expresión $P\land \neg P$ es una contradicción porque es falsa sin importar el valor de verdad de $P$ . En lenguaje natural, esta expresión nos dice que $P$ no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.

$P$	$\neg P$	$P\land \neg P$
V	F	F
F	V	F

Una contingencia es cualquier proposición que no es una tautología o una contradicción. Su valor de verdad depende de los valores de verdad de las proposiciones sencillas que la conforman.^[1] La expresión $(\neg (C\land \neg D)\lor E)$ , que analizamos anteriormente, es un ejemplo de una contingencia porque sus valores de verdad dependen de los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

Resumen de la lección

Una tabla de verdad permite calcular el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Una tabla de verdad debe tener 2ⁿ filas para listar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples que contiene.
Una proposición compuesta se debe dividir en sus proposiciones componentes para poder calcular sus valores de verdad.
Una tautología es una proposición cuyo valor de verdad siempre es $V$ para todas las asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.
Una contradicción es una proposición cuyo valor de verdad siempre es $F$ para todas las asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes.
Una contingencia es una proposición cuyos valores de verdad dependen de los valores de verdad de sus proposiciones componentes.

1. Una tabla de verdad lista todos los posibles valores de una o varias proposiciones simples y el valor de verdad de una o varias proposiciones compuestas. 2. Una tabla de verdad lista todos los posibles valores de una o varias proposiciones simples. La tabla debe tener una fila por cada combinación de valores de verdad de las proposiciones simples. Si la tabla incluye dos proposiciones simples deberá tener 4 filas, si incluye 3 variables deberá tener 8 filas, si incluye 4 variables deberá tener 16 filas y así. 3. Para una proposición compuesta se debe iniciar de izquierda a derecha, para que finalmente podamos calcular su valor de verdad. 4. Una tautología es una proposición cuya tabla de verdad siempre es para todos los casos posibles, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen. 5. Una contradicción es una proposición cuyo valor de verdad siempre es para todas las asignaciones de valores de verdad de sus proposiciones componentes. 6. Una contingencia es una proposición cuyos valores de verdad dependen de los valores de verdad de sus proposiciones componentes.

Bibliografía

↑ ^1,0 ^1,1 Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.
↑ Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.
↑ Aho, Alfred V.; Ullman, Jeffrey D. (1994). Foundations of Computer Science: C Edition (en inglés) (1.ª edición). Estados Unidos: W. H. Freeman. p. 786. ISBN 978-071-67-8284-1.
↑ ^4,0 ^4,1 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.

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[lau-1] 1,0 ^1,1 Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.

[klement-2] Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.

[aho1994-3] Aho, Alfred V.; Ullman, Jeffrey D. (1994). Foundations of Computer Science: C Edition (en inglés) (1.ª edición). Estados Unidos: W. H. Freeman. p. 786. ISBN 978-071-67-8284-1.

[grimaldi1998-4] 4,0 ^4,1 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.

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