Casos Particulares del MAS y Energía

Sistema masa-resorte ^[1]

El movimiento armónico simple tiene diferentes casos particulares, uno de ellos es el sistema masa resorte.

Cuando el resorte no está estirado ni comprimido, el objeto se encuentra en la posición de equilibrio $x_{0}$ .

De acuerdo a la descripción propuesta por Robert Hooke en la ley que lleva su nombre, se conoce que la fuerza que ejerce el resorte sobre el objeto es ${\vec {F}}=-k{\vec {x}}$ , esta ecuación puede describir el movimiento en un caso 1-dimensional, y al símbolo ${\vec {F}}$ se conoce como fuerza restauradora. Si aplicamos la segunda ley de Newton para un caso 1-dimensional $F=-kx=ma_{x}$ , por lo que se obtiene $a=-{k \over m}x$ .

Al comparar esta ecuación de la aceleración con la aceleración obtenida correspondiente a la parte del MAS $a=-w^{2}x$ se aprecia que para un resorte $w^{2}={k \over m}$ .

Movimientos pendulares

Los péndulos son un caso particular del movimiento armónico simple, por ejemplo, el péndulo simple y el péndulo compuesto. El péndulo simple consiste en una masa puntual suspendida de un cordón con masa despreciable y no deformable en cuanto a su longitud, con longitud característica $L$ . Si la masa es desplazada un ángulo $\theta$ , donde el cordón que la sujeta está fijo a un nodo, sobre la masa actúan dos fuerzas, una que es la tensión de la cuerda sobre la masa ${\vec {T}}$ y el peso ${\vec {W}}=m\;{\vec {g}}$ , el peso puede ser descompuesto en dos componentes. Para efectos prácticos consideramos la componente tangencial del peso $m\;g\;sen(\theta )$ , por lo que la ecuación de movimiento es

$F_{x}=-m\,g\,sen(\theta )=m\,{d^{2}x \over dt^{2}}$ ,

y considerando la longitud de arco de una circunferencia $S=r\,\theta$ y tomando $r=L$ es constante, con lo que la ecuación anterior se reduce a

${d^{2}\theta \over dt^{2}}=-{g \over L}\,sen(\theta )$ .

Para ángulos pequeños $sen(\theta )\approx \theta$ , y esto es debido a que se busca obtener una ecuación diferencial similar a la del movimiento armónico simple.

Por lo tanto la ecuación es ${d^{2}\theta \over dt^{2}}=-{g \over L}\theta$ .

Al comparar esta ecuación con la general del MAS se puede observar que para el péndulo simple la frecuencia angular se escribe como

$w^{2}={g \over L}$ ,

y el periodo del movimiento es

$T={2\,\pi \over \omega }=2\,\pi \,{\sqrt {L \over g}}$ .

De acuerdo a estas dos expresiones, la frecuencia angular y el periodo de movimiento tienen una dependencia de la longitud de la cuerda y la aceleración gravitatoria. Además, el periodo es independiente de la masa, por lo que cualquier péndulo simple que tenga la misma longitud característica y se encuentren en locaciones similares (recuerde que el planeta tierra no es un cuerpo con simetría esférica, este tiene forma de geoide, por lo que la aceleración gravitatoria es diferente en lugares distintos de la superficie terrestre), oscilarán con el mismo periodo.

El péndulo físico consiste en un cuerpo de tamaño finito, el cual oscila en torno a un eje fijo que no pasa por su centro de masa. Si el objeto se mueve un ángulo $\theta$ , el peso genera un torque de restitución. Considerando una distancia $d$ desde el origen de un marco de referencia (que se encuentra sobre el pivote) hasta el centro de masa del objeto.

La fuerza gravitacional ejerce un torque sobre el objeto de magnitud $m\,g\,d\,sen(\theta )$ . Es posible escribir de manera análoga a la segunda ley de Newton una ecuación de segundo orden para la sumatoria de torques $\sum \tau _{ext}$ , resultando en

$-m\,g\,d\,sen(\theta )=I\,{d^{2}\theta \over dt^{2}}$ .

La fuerza gravitacional produce un torque de restauración. Asumiendo la aproximación de ángulos pequeños, es posible reducir la ecuación anterior a

${d^{2}\theta \over dt^{2}}=-\left({m\,g\,d \over I}\right)\,\theta$ .

La velocidad angular para un péndulo físico es

$\omega ={\sqrt {m\,g\,d \over I}}$ .

El periodo es

$T={2\,\pi \over \omega }=2\,\pi \,{\sqrt {I \over m\,g\,d}}$ .

Si concentramos la masa de este objeto de estudio es posible obtener la solución del péndulo simple, esto es, realizando la sustitución $I=m\,d^{2}$ .

Superposición de movimientos armónicos simples

Para oscilaciones en la misma dirección, es decir paralelas, existen dos casos.

Cuando $w_{1}=w_{2}=w$ , entonces $x=x_{1}+x_{2}$ , donde

$x_{1}=A_{1}\,\cos(wt)$ y $x_{2}=A_{2}\,\cos(wt+\phi )$ .

Para esto se utiliza el diagrama de fasores donde el nuevo movimiento está regido por

$x=A\,\cos(wt+\phi ^{\prime })$

Para este nuevo movimiento

$A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos \phi$

$\phi ^{\prime }=\tan {\Biggl (}{A_{1}\sin(wt)+A_{2}\sin(wt+\phi ) \over A_{1}\cos(wt)+A_{2}\cos(wt+\phi )}{\Biggr )}-wt$

cuando $A_{1}=A_{2}=A$ , entonces $x=A\cos(w_{1}t)+A\cos(w_{2}t+\phi )$

Si factorizamos $x=A[\cos(w_{1}t)+\cos(w_{2}t+\phi )]$

Al aplicar identidades trigonométricas, se obtiene

$x=2A\cos \left[{\frac {(w_{1}-w_{2})t}{2}}+{\frac {\phi }{2}}\right]\cos \left[{\frac {(w_{1}+w_{2})t}{2}}+{\frac {\phi }{2}}\right]$

Debido a que las fuerzas que actúan sobre los sistemas con MAS son conservativas, la energía total de este se mantiene constante.

$E=K+U=constante$

donde $U={1 \over 2}kx^{2}$ , si es un sistema masa-resorte.

$U=mgh$ , si es un péndulo (simple o físico).

Energía en el movimiento simple

Examinando las energías que están presentes en el movimiento pendular, se observan dos contribuciones, la primera es debida al movimiento del objeto, la cual se conoce como energía cinética, la cual se escribe como

$K={1 \over 2}\,m\,v^{2}={1 \over 2}\,m\,w^{2}\,A^{2}\,sen^{2}\left(\omega \,t+\phi \right)$ ,

el otro aporte energético es debido a la interacción del objeto con el resorte, el cual almacena energía potencial debido a su contracción o expansión, y es de la forma

$U_{s}={1 \over 2}\,k\,x^{2}={1 \over 2}\,k\,A^{2}\,cos^{2}\left(\omega \,t+\phi \right)$ .