Base canónica

En álgebra lineal, sea un espacio vectorial sobre un cuerpo de escalares $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, la base canónica o base usual es una colección de vectores linealmente independientes cuyo número coincide con la dimensión del propio espacio vectorial.

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.

De entre las (infinitas) bases existentes, la base canónica está normalizada, es decir, los módulos de los vectores son unitarios, o lo que es lo mismo, valen una unidad métrica, según el sistema de referencias utilizado.

Además, en geometría euclidiana, los vectores de la base se fijan a un punto de aplicación común, que es el punto de origen del sistema de referencia o punto cero.

Todas estas características hacen que la base canónica sea única para cada espacio vectorial.

Utilizando el operador interno aditivo (adición de vectores) y operador externo producto (producto de un escalar por un vector) característicos de todo espacio vectorial, generan combinaciones lineales de la siguiente forma:

Sean λ , μ , ν (se leen respectivamente: lambda, mu, nu) - una forma de representar a tres números cualesquiera (o escalares) reales o complejos.

Sea la base canónica para el espacio euclídeo ${\mathcal {B}}=\{i,j,k\}$ para el espacio $\mathbb {R} ^{3}$, siendo sus coordenadas referidas en ese espacio: $\{i(1,0,0);j(0,1,0);k(0,0,1)\}\,$

Un vector cualquiera $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}$ puede ser representado a través de una combinación lineal:

$a(a_{x},a_{y},a_{z})=\lambda \mathbf {i} +\mu \mathbf {j} +\nu \mathbf {k}$

• Ejemplo

$v(-1,5,3)=-\mathbf {i} +5\mathbf {j} +3\mathbf {k}$

Características de la base canónica

Es base porque los tres vectores son:

• Linealmente independientes: Los vectores de la base no pueden generarse entre sí, es decir, están ubicados en direcciones distintas del espacio.
• Es un sistema generador del espacio vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ porque cualquier vector es una combinación lineal de los vectores que conforman la base.

Es ortogonal porque:

• Los vectores generadores de la base son ortogonales entre sí, o lo que es lo mismo, son perpendiculares dos a dos o forman ángulo recto dos a dos (ángulo recto son 90° en el sistema sexagesimal, 100° en el sistema centesimal o ${{\boldsymbol {\pi }} \over 2}$ radianes)

Está normalizada o es normal porque:

• Los módulos de cada uno de los vectores son unitarios.

Es ortonormal por ser una base ortogonal en las que sus vectores componentes han sido normalizados o reducidos sus módulos a la unidad.

Tienen un punto de aplicación común, que es el punto cero u origen del sistema de coordenadas.

Es canónica(porque se ajusta a una norma generalmente admitida como la mejor de las posibles) porque es única y exclusiva para cada espacio vectorial, siendo escogida de entre todas las bases posibles como se escoge un representante canónico en una clase de equivalencia por ser el más sencillo y simplificado de todos ellos.

La base canónica facilita una interpretación intuitiva del sistema de coordenadas característico de un sistema cartesiano, de tal suerte, que para posicionar un punto en la recta, el plano o el espacio, las coordenadas nos informan de la distancia real en unidades, así facilita la lectura de posiciones y representación métrica en el entorno del espacio vectorial y con ello, sus aplicaciones directas a la geometría y a la física, entre otras importantes ciencias puras y aplicadas. Acabo de editar esto yo de ti no me confió