Álgebra lineal
Objetivo
editarIntroducir el concepto de estructuras y ecuaciones lineales. Dar a los alumnos los elementos de espacios vectoriales y de Transformaciones lineales. Aplicaciones a la geometría analítica.
Programa analítico
editar1. Sistema de Ecuaciones Lineales y Matrices . Sistemas de Ecuaciones Lineales. Propiedades Generales de los Sistemas. Métodos de Resolución. Matrices. Matriz Traspuesta. Operaciones entre Matrices. Matrices Cuadradas. Matrices Elementales y Operaciones Elementales. Inversa de una Matriz. Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales. Aplicaciones a la Geometría Analítica. Intersección de Rectas. Planos. Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad.
2. Determinantes . Definición de Determinantes. Propiedades Generales de los Determinantes. Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales. Regla de Cramer.
3. Espacios Vectoriales. Definición de Espacio Vectorial. Combinaciones Lineales. Independencia Lineal. Sistema de Generadores. Base. Dimensión. Subespacios. Intersección y Suma de Subespacios. Cambio de Coordenadas de un Vector ante un Cambio de Base. Matriz de Cambio de Base. Aplicaciones a la Geometría Analítica : Rectas en el Espacio n - Dimensional. Paralelismo. Planos. Hiperplanos. Nociones Sobre el Espacio Afín. Variedades Lineales. La Recta Homogénea. Paralelismo y Representación de la Recta Afín.
4. Transformaciones Lineales. Definición de Transformación Lineal. Propiedades y Generalidades. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal. Representación Matricial y Cambio de la Representación ante Cambios de Base. Isomorfismos. Nociones de Dualidad. Transformaciones de Coordenadas y Ecuación de las Variedades Lineales.
5. Espacios Vectoriales con Producto Interno . Producto Escalar y Producto hermítico. Bases Ortonormales. Distancia y Angulos. Perpendicularidad. Ortogonalidad y Complementos Ortogonales. Aplicaciones a la Geometría Analítica Clásica : Rectas Pependiculares. Distancia entre Rectas. Distancia Entre Variedades. Proceso de Ortonormalización de Gram Schmidt. Matrices Ortogonales. Transformaciones Ortogonales. Isometrías.
6. Diagonalización y Forma de Jordan. Autovalores y Autovectores de una Matriz. Polinomio Característico y Polinomio Mínimo. Semejanza entre Matrices y Diagonalización. Matrices Hermitianas y simétricas. Aplicaciones a la Geometría Analítica Clásica : Cónicas y Cuádricas. Tangentes y Centros. Clasificación y Particularidades. Teorema de Cayley - Hamilton.Matrices Nilpotentes. Forma de Jordan.