Alcaraz.acevedo

AUTOR

Alejandro Alcaraz Zapata. Estudiante de Ingeniería Mecánica

INTRODUCCIÓN

En algunos estudiantes de ingeniería, pregrado universitario, se evidencia dificultad en el afianzamiento de conceptos fundamentales para el ejercicio profesional, como lo son los pertinentes al campo de mecánica de materiales. Con el objetivo principal de fortalecer las competencias de los ingenieros se creará una herramienta que, de manera práctica y sencilla, explique algunos conceptos fundamentales de mecánica de materiales; por medio de representaciones gráficas que diluciden de manera adecuada y llamativa elementos relevantes como fuerzas, objeto en análisis, esfuerzos y consecuencias de los mismos sobre el objeto en análisis y trazo de diagramas de circulo de Mohr. La herramienta mencionada refiere a un software con interfaz gráfica, elaborado en Matlab, en conjunto con el siguiente informe de texto que propicia los argumentos del trabajo realizado en la elaboración del software.

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

En la imagen se encuentran tabulados por día, fecha, semana y mes, cada una de las actividades programadas para cumplir con el objetivo propuesto en el proyecto final de programación.

Con el objetivo principal de hacer una entrega oportuna y de buena calidad del producto terminado, se llevarán a cabo algunas tareas previamente programadas, para estipular un orden que dé cohesión y garantice una solidez en su estructura.

El cronograma permitirá integrar los horarios de trabajo en el proyecto a las actividades semanales que se realizan normalmente en jornadas de estudio.

Entre las actividades se encuentran:

- Estudio de las ecuaciones que gobiernan el problema.

- Programación del Software.

- Incorporación de imágenes.

MARCO TEÓRICO

La forma de un elemento y las propiedades del material con el que esta hecho determinan su resistencia a cargas normales y/o cortantes. Es de vital importancia transformar un estado de esfuerzos general a cada situación particular, ya que ésto permitirá la determinación de la selección de un material para determinada aplicación; del mismo modo previene, desde las condiciones de diseño, accidentes producidos por las fallas de un elemento debido a la acción de cargas sobre el mismo.

Existen diversas formas para llevar a cabo un análisis de transformación de esfuerzos; en este caso se explicará para los estudiantes el método del círculo de Mohr, desarrollado por Christian Otto Mohr, para dicho análisis.

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO UTILIZANDO EL MÉTODO DEL CÍRCULO DE MOHR.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO.

En Mecánica de Materiales existe un método alternativo (gráfico), que se basa en consideraciones geométricas sencillas para realizar una transformación de esfuerzos. Mediante el software se definirá el valor θp de θ para el cual los esfuerzos σx' y σy' son respectivamente, máximo y mínimo. Dichos valores del esfuerzo normal son los esfuerzos principales en un punto Q del elemento en estudio, y las caras del elemento definen los planos principales de esfuerzo en ese punto. Se establecerá también, el valor de θs del ángulo de rotación para el cual el esfuerzo cortante es máximo, así como el valor de dicho esfuerzo. Se trazará el círculo de Mohr. Para la comprensión de lo tratado, se requiere de un conocimiento previo de conceptos básicos de Resistencia de Materiales, como el estado de esfuerzo de un punto en un plano como se muestra en la figura 1 (aunque se proporcionan algunas herramientas para recordar conceptos) y las deducciones de las ecuaciones de Transformación, que son:

Figura 1. Estado de esfuerzos en un punto.

{{ecuación| ${\displaystyle }$

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \sigma_\text{x'}:= \left((\frac{σx+ σy} {2}) + ((\frac{σx - σy} {2}) cos(2θ)+ τxy sen (2θ))\right) } . (1)

(\sigma_\text{med},0) = \left(\frac {\sigma_x + \sigma_y} {2}, 0\right) </math>

σ_y'= (σ_x+ σ_y )/2 - ((σ_x - σ_y))/2 ∙cos⁡(2θ)+ τ_xy∙ sen (2θ) (2)

τ_x'y'= (- (σ_x - σ_y))/2 ∙sen(2θ)+ τ_xy∙ cos(2θ) (3)

El método se fundamenta en el hecho de que las ecuaciones (1) y (2) para la transformación de esfuerzo son las ecuaciones paramétricas de un círculo. Esto significa que si se escoge un sistema de ejes rectangulares y se grafica un punto M de abscisa σx' y de ordenadas τx'y' para cualquier valor de θ, los puntos así obtenidos estarán situados en un círculo.

DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES: σmax,σmin

Las ecuaciones (1) y (2): (1): (σ_x'- ((σ_x - σ_y ))/2)^2= [ (〖(σ〗_(x )- σ_y) )/2 ∙cos⁡(2θ)+ τ_xy∙ sen (2θ) ]^2 (2): 〖(τ_x'y')〗^2= [(- (σ_x - σ_y))/2 ∙sen(2θ)+ τ_xy∙ cos(2θ)]^2 … … Haciendo σ_med= (σ_x+ σ_y )/2 y R= √(( ((σ_x - σ_y ))/2)^2+ (τ_xy )^2 ) Se puede escribir en la forma: 〖(σ_(x^' )- σ_med)〗^2+ 〖〖(τ〗_x'y'-0)〗^2= R^2 Que corresponde a la ecuación paramétrica de un círculo con radio R, con centro en el punto C de abscisa σ_med y ordenada 0 (figura 2). Debido a la simetría del círculo con respecto al eje horizontal, se puede obtener el mismo círculo.

Figura 2.

Así se obtienen 〖 σ〗_max y σ_min , de la siguiente forma: 〖 σ〗_max ,σ_min= 〖 σ〗_med± R 〖 σ〗_max ,σ_min=(σ_x+ σ_y )/2 ±√(( ((σ_x - σ_y ))/2)^2+ (τ_xy )^2 ) Donde 〖 σ〗_max es el PUNTO A, el punto más a la derecha del círculo (Mayor valor algebraico de σ) Donde 〖 σ〗_min es el PUNTO B, el punto más a la izquierda del círculo (Menor valor algebraico de σ)

PROCEDIMIENTO

1. Conocer el estado de esfuerzo en un punto Q ubicado en un plano con una orientación determinada.

2. Convención de signos para el círculo de Mohr:

Esfuerzos normales: positivos (tracción), negativos (compresión)

Esfuerzos cortantes: positivo (rotación horaria), negativo (rotación anti horaria)

3. Definir el estado de esfuerzo en dos caras perpendiculares en el elemento, lo que equivale a dos puntos en el círculo de mohr.

4. Definir una escala de dibujo y traducir los esfuerzos a la escala correspondiente.

5. Ubicar el origen del sistema de coordenadas:

Eje X: esfuerzo normal X’ Eje Y: esfuerzo cortante X’Y’

6. Ubicar puntos X, Y en el plano cartesiano.

7. Unimos X y Y, y en la intersección con el eje X se halla el centro del círculo. (C).

En dicho circulo:

Punto X: Eje X en el elemento. Estado de esfuerzo en la cara lateral derecha del elemento.

Punto Y: Eje Y. Estado de esfuerzo en la cara superior del elemento.

Podemos definir directamente en el círculo el estado de esfuerzo en cualquier punto y multiplicamos por la escala del dibujo para obtener los esfuerzos en las unidades reales.

La transformación espacial nos conduce a 3 situaciones diferentes:

σa y σb ambos positivos: DE TRACCIÓN.

σ_(max = ) σa σ_(min = ) σz=0 τ_(max = R_AZ = σa/2 )

σa y σb ambos negativos: DE COMPRESIÓN.

σ_(max = ) σz=0 〖 σ〗_(min = ) σb τ_(max )= R_BZ= ([σa])/2

σa y σb de signos contrarios: (σa +) y (σb -)

σ_(max = ) σa 〖 σ〗_(min = ) σb τ_(max )= R_AB= (σa-σb )/2

ECUACIONES PARA CÁLCULOS GEOMÉTRICOS:

A= πd/4 I_0= (πr_1^4)/4 J_0= (πr_1^4)/2 L: ingresado por el usuario r: ingresado por el usuario

ECUACIONES PARA EL CÁLCULO DE ESTADOS DE ESFUERZO

ESFUERZOS NORMALES: TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA

σ= ±P/A

ESFUERZOS CORTANTES:

A) TORSIÓN PURA

τ= (T x R)/J_0

B) FLEXIÓN PURA

τ= (M_y x C)/I_0 = ± (F×L×R)/I_0

ECUACIONES PARA EL CÁLCULO DE ESFUERZOS PRINCIPALES EN EL PLANO

σa= σ_max= (σ_X+ σ_Y)/2+ √(〖( (σ_X+ σ_Y)/2)〗^2+〖〖 (τ〗_XY)〗^2 )

σb= σ_min= (σ_X+ σ_Y)/2 -√(〖( (σ_X+ σ_Y)/2)〗^2+〖〖 (τ〗_XY)〗^2 )