Números naturales/Números primos y compuestos

Lección 9

Números primos y compuestos

Los números primos son todos los números naturales mayores a 1 que tienen exactamente dos factores: la unidad y ellos mismos.

El número 2 es primo porque solo tiene dos divisores: la unidad y sí mismo. En ambos casos el residuo de la división es cero y ambos números se consideran divisores del número 2. La división $2\div 2=1$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 2 es factor de sí mismo. La división $2\div 1=2$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 1 es factor de 2. El número 3 es primo porque solo tiene dos divisores: la unidad y sí mismo. El 2 no es factor de 3 porque su división no es exacta. La división $3\div 3=1$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 3 es factor de sí mismo. La división $3\div 2=1$ tiene residuo 1, por lo tanto es inexacta y 2 no es factor de 3. La división $3\div 1=3$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 1 es factor de 3. El número 5 es primo porque solo tiene dos divisores: la unidad y sí mismo. Los números 2, 3 y 4 no son factores de 5 porque su división no es exacta. La división $5\div 5=1$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 5 es factor de sí mismo. La división $5\div 4=1$ tiene residuo 1, por lo tanto es inexacta y 4 no es factor de 5. La división $5\div 3=1$ tiene residuo 2, por lo tanto es inexacta y 3 no es factor de 5. La división $5\div 2=2$ tiene residuo 1, por lo tanto es inexacta y 2 no es factor de 5. La división $5\div 1=5$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 1 es factor de 5. El mismo patrón se repite para todos los números primos.

Los números que tienen más de 2 divisores se llaman números compuestos.

El número 4 es compuesto porque tiene tres divisores: 1, 2 y 4. En los tres casos el residuo de la división es cero y los números se consideran divisores del 4. La división $4\div 4=1$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 4 es factor de sí mismo. La división $4\div 3=1$ tiene residuo 1, por lo tanto es inexacta y 3 no es factor de 4. La división $4\div 2=2$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 2 es factor de 4. La división $4\div 1=4$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 1 es factor de 4. El número 6 es compuesto porque tiene cuatro divisores: 1, 2, 3 y 6. En todos los casos el residuo de la división es cero y los números se consideran divisores del 6. La división $6\div 6=1$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 6 es factor de sí mismo. La división $6\div 5=1$ tiene residuo 1, por lo tanto es inexacta y 5 no es factor de 6. La división $6\div 4=1$ tiene residuo 2, por lo tanto es inexacta y 4 no es factor de 6. La división $6\div 3=2$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 3 es factor de 6. La división $6\div 2=3$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 2 es factor de 6. La división $6\div 1=6$ tiene residuo 0, por lo tanto es exacta y 1 es factor de 6. El mismo patrón se repite para todos los números compuestos.

Los números 0 y 1

El $0$ no se considera primo porque no es factor de sí mismo. Tampoco se considera un número compuesto porque no se puede expresar como una multiplicación de factores primos.

El $0$ no es factor de sí mismo porque la división $0\div 0$ no está definida y por lo tanto no es un número primo. El número menor que se puede obtener al multiplicar dos números primos es el 4: $2\times 2=4$. Como $4>0$ sabemos que no podemos obtener el $0$ al multiplicar dos números primos y por lo tanto no es un número compuesto.

El número $1$ no se considera ni primo ni compuesto porque tiene solamente un divisor: el $1$ que es a la vez la unidad y él mismo.

Criba de Eratóstenes

Uso de la criba de Eratóstenes para identificar los números primos menores a 120.

Para encontrar todos los números primos menores a un número $n$ se usa un procedimiento atribuido al matemático griego Eratóstenes. El procedimiento se llama Criba de Eratóstenes, es el único método conocido para calcular listas de números primos y consiste en tachar progresivamente todos los números compuestos para que al final queden sin tachar solamente los números primos.

El procedimiento consiste en: Organizar en una tabla todos los números desde el uno hasta $n$. Tachar el número uno por no ser un número primo. Marcar el número 2 como el primer número primo de la lista. Tachar todos los números que son divisibles por dos. Moverse al siguiente número no tachado y marcarlo como un número primo. Tachar todos los números que son divisibles por ese número. Repetir los dos pasos anteriores hasta llegar al final de la tabla. Los números primos son todos los números que quedan sin tachar.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética es un hecho importante en las matemáticas. Nos indica que todos los números compuestos pueden expresarse como una multiplicación de factores primos diferentes de 1. Según el teorema esa lista de factores primos es única para cada número compuesto y se le llama factorización completa del número.

La factorización completa de los primeros 6 números compuestos es: $4=2\times 2$ $6=2\times 3$ $8=2\times 2\times 2$ $9=3\times 3$ $10=2\times 5$ $12=2\times 2\times 3$

Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, el orden de los factores no es importante al calcular la factorización completa de un número.

Las siguientes listas de factores primos del número 30 se consideran la misma factorización completa porque la única diferencia entre ellas es el orden de los factores: $30=2\times 3\times 5$ $30=2\times 5\times 3$ $30=3\times 2\times 5$ $30=3\times 5\times 2$ $30=5\times 2\times 3$ $30=5\times 3\times 2$

Cuando un factor primo aparece varias veces en la factorización completa de un número, se puede escribir usando potencias.

La factorización completa del número 600 se puede escribir $600=2\times 2\times 2\times 3\times 5\times 5$ Pero también se puede escribir así: $600=2^{3}\times 3\times 5^{2}$

Por convención, decimos que la factorización completa de un número primo es él mismo. Por ejemplo, la factorización completa del número $13$ es el número $13$.

Métodos de factorización

La factorización completa de un número natural se puede calcular utilizando diagramas de árbol o realizando divisiones entre factores primos sucesivos.

Mediante diagramas de árbol

La factorización mediante diagramas de árbol consiste en identificar dos o más números que multiplicados entre sí den el número original, sin importar si son primos o no. Luego se anotan bajo el número inicial como si fueran ramas en un árbol y se procede de la misma manera para cada uno de ellos.

Si la rama ya es un número primo, se anota el mismo número. Si es un número compuesto, se anotan dos números que multiplicados den ese número. El proceso se repite hasta que todas las ramas estén compuestas de números primos. Al llegar a este punto, identificamos la factorización completa del número original anotando todos los números de los que no salen ramas.

Para obtener la factorización completa del número $42$ usando un diagrama de árbol: Colocamos el número $42$ en la raíz del árbol. Identificamos dos o más factores del número $42$, ya sean primos o no. En este caso identificamos los números $2$ y $21$. Colocamos los factores debajo del número original y los conectamos a él con líneas. Repetimos el procedimiento para cada uno de los números en el nuevo nivel del árbol: El número $2$ ya es un factor primo de $42$ por tanto lo anotamos el mismo número y lo conectamos con sí mismo mediante una línea. El número $21$ tiene 2 factores: el $3$ y el $7$. Anotamos ambos factores y los conectamos con el 21 con líneas ascendentes. Al revisar los nuevos números en el extremo inferior del árbol observamos que en esta ocasión todos son primos y damos por terminado el procedimiento. Para obtener la factorización completa del número $42$ recorremos las hojas del árbol (los números en el extremo inferior que no tienen otros números debajo de ellos): $42=2\times 3\times 7$

Los diagramas de árbol no siempre son un método cómodo y conveniente para encontrar la factorización completa de un número. Frecuentemente es difícil encontrar un primer producto de dos números que sea igual al número original para iniciar el proceso.

Mediante divisiones por primos sucesivos

El método de divisiones por primos sucesivos es más cómodo y fácil de usar. Consiste en una sucesión de divisiones enteras por números primos hasta llegar al número 1. En cada paso se utiliza el resultado de la división anterior como dividendo y se anota el divisor utilizado.

Para encontrar la factorización completa del número 30 realizamos las siguientes divisiones enteras por factores primos: $30\div 2=15$ $15\div 3=5$ $5\div 5=1$ La factorización completa del número 30 consiste en la lista de los divisores utilizados: $30=2\times 3\times 5$

Por comodidad, los resultados parciales y los divisores se suelen anotar verticalmente en dos columnas, uno junto al otro. Por ejemplo, para calcular la factorización completa del número $42$ procedemos de la siguiente manera:

		Trazamos una línea vertical para crear dos columnas y colocamos el número que deseamos factorizar (42) a la izquierda de la línea. Consultando las reglas de divisibilidad vemos que 42 es divisible entre 2, por lo tanto escogemos ese número como el primer factor primo. Colocamos el número 2 junto al 42, a la derecha de la línea vertical y realizamos la división: $42\div 2=21$. Colocamos el resultado de la división debajo del 42 para repetir el proceso. En esta ocasión colocamos un 3 a la derecha del 21 porque el número no es divisible por dos pero si es divisible entre 3. Realizamos la división: $21\div 3=7$ y colocamos el resultado debajo del 21. Ahora repetimos el proceso por tercera vez. Colocamos el número 7 a la derecha del 7 porque es un número primo y su único divisor diferente de uno es el mismo número 7. Realizamos la división: $7\div 7=1$ y colocamos el resultado al final de la columna de la izquierda. Finalizamos el proceso porque ya llegamos al número 1 en la columna de la izquierda. La factorización completa del número 42 consiste en todos los divisores primos que anotamos a la derecha de la línea vertical: $42=2\times 3\times 7$
42	2
21	3
7	7
1

El procedimiento es el mismo independientemente del número que deseamos factorizar. A continuación podemos ver su aplicación con el número 175:

		Trazamos una línea vertical y colocamos el número 175 a la izquierda. Utilizamos el 5 como el primer factor primo porque 175 es divisible entre 5. Colocamos el 5 a la derecha del 175 y realizamos la división: $175\div 5=35$. Colocamos el 35 debajo del 175 para repetir el proceso. Volvemos a colocar un 5 a la derecha porque el 35 es divisible por 5. Realizamos la división: $35\div 5=7$ y colocamos el resultado debajo del 35. Colocamos el número 7 a la derecha del 7 porque es un número primo y realizamos la división: $7\div 7=1$. Colocamos el resultado al final de la columna izquierda y finalizamos el proceso porque ya llegamos al número 1. La factorización completa del número 175 es: $175=5\times 5\times 7=5^{2}\times 7$
175	5
35	5
7	7
1

Resumen de la lección

• Los números primos son todos los números naturales mayores a 1 que tienen exactamente dos factores.
• Los números compuestos tienen tres o más divisores y se pueden expresar como una multiplicación de números primos.
• Los números 1 y 0 son casos especiales y no se consideran ni primos ni compuestos.
• La criba de Eratóstenes permite encontrar todos los números primos menos a un número n.
• Todos los números compuestos pueden expresarse como una multiplicación de factores primos diferentes de 1.
• La factorización completa de un número es única.
• La factorización completa de un número primo es él mismo.
• La factorización completa de un número natural se puede calcular utilizando diagramas de árbol o divisiones sucesivas entre factores primos.

Términos clave

• Número primo
• Número compuesto
• Criba de Eratóstenes
• Eratóstenes
• Factor primo
• Factorización de enteros
• Teorema fundamental de la aritmética

Lecturas adicionales

• Matemáticas/Aritmética/Números primos
• Números y Operaciones/Números Naturales/Números Primos y Compuestos

Bibliografía

• Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239. 
• Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909. 
• Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276. 

Proyecto: Números naturales

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