Números naturales/Mínimo común múltiplo

Lección 12

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de 2 o más números es el menor número, distinto de $0$ , que es múltiplo de esos números.

Los primeros múltiplos de $4$ son:

$0,4,8,12,16,20,24,28,32,...$

Los primeros múltiplos de $7$ son:

$0,7,14,21,28,35,42,49,...$

Vemos que el número más pequeño presente en ambas listas es el $28$ . A ese número lo llamamos el mínimo común múltiplo de $4$ y $7$ .

El mínimo común múltiplo se representa utilizando el símbolo: $mcm(...)$ . Por ejemplo:

El mínimo común múltiplo de 10 y 14 se escribe:

$mcm(10,14)=70$

El mínimo común múltiplo de 5, 10 y 15 se escribe:

$mcm(5,10,15)=15$

No existe el mayor de los múltiplos comunes de un grupo de números porque tanto los números naturales como sus múltiplos son infinitos. Debido a eso calculamos el menor de los múltiplos comunes, no el mayor.

Cálculo

Crear una lista de múltiplos de varios números y buscar el número más pequeño que se encuentra en todas las listas es una forma de calcular el mínimo común múltiplo pero es un método muy laborioso. Dos métodos más eficientes para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números son el método de la factorización completa y el método de la factorización simultánea.

Método de la factorización completa

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números usando el método de la factorización completa debemos seguir estos pasos:

Obtener la factorización completa de cada uno de los números.
Escribir la factorización completa usando potencias para los números repetidos.
Crear una lista con cada uno de los factores elevados a la máxima potencia con la que aparecen en las factorizaciones completas.
Multiplicar los factores comunes.

Para calcular el mínimo común múltiplo de 108, 120 y 126 ( $mcm(108,120,126)=?$ ) usando el método de la factorización completa procedemos de la siguiente manera:

Obtenemos la factorización completa de cada uno de los números y la escribimos usando potencias:
$108=2^{2}\times 3^{3}$

$120=2^{3}\times 3\times 5$

$126=2\times 3^{2}\times 7$

Creamos una lista con cada uno de los factores elevados a la mayor potencia con la que se encuentran en las factorizaciones completas:
$2^{3},3^{3},5,7$

Multiplicamos los números de la lista:
$2^{3}\times 3^{3}\times 5\times 7=8\times 27\times 5\times 7=7560$

El mínimo común múltiplo de 108, 120 y 126 es:

$mcm(108,120,126)=7560$

Método de la factorización simultánea

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números usando el método de la factorización simultánea debemos seguir estos pasos:

Colocar los números en fila.
Trazar una línea vertical a la derecha de la fila de números.
Examinar los números para identificar el menor divisor primo de al menos uno de los números.
Escribir el divisor identificado a la derecha de la línea vertical.
Escribir debajo de cada número el resultado de dividirlo por el factor a la derecha de la línea vertical si el número es divisible por ese factor.
Escribir debajo de cada número el mismo número si no es divisible por el factor a la derecha de la línea vertical.
Repetir el proceso con la nueva línea de números para identificar otros factores hasta que los números de la línea sean todos $1$ .
Multiplicar los factores identificados a la derecha de la línea vertical para obtener el mínimo común múltiplo.

Para calcular $mcm(12,14,16)$ utilizando el método de descomposición simultánea procedemos de la siguiente manera:

Colocamos los números en fila y a su derecha trazamos una línea vertical.

Identificamos el menor número primo que es divisor de al menos uno de los números en la fila y lo escribimos a la derecha de la línea vertical. En este caso es el número 2.

Como todos los números en la fila son divisibles por dos, realizamos las divisiones y colocamos los resultados debajo de cada número: 6, 7 y 8.

Examinamos los números en la nueva fila y vemos que al menos uno de ellos es divisible por 2 así que colocamos un 2 a la derecha de la línea vertical.

En esta ocasión solo dos de los números son divisibles por 2: 6 y 8. Los dividimos y colocamos los resultados en la nueva fila: 3 y 4.

El 7 no es divisible por dos así que lo copiamos en la siguiente fila sin dividirlo.

La nueva fila de números se compone de 3, 7 y 4. Como el 4 es divisible por 2, colocamos un dos a la derecha de la línea vertical y repetimos el proceso para obtener la nueva fila de números: 3, 7 y 2.

De nuevo al menos uno de los números en la fila es divisible por 2 así que colocamos un dos a la derecha de la línea vertical y procedemos con en los casos anteriores para obtener la nueva fila de números: 3, 7 y 1.

En la nueva fila de números ya no hay números divisibles por 2 así que examinamos el siguiente número primo: 3. Al menos uno de los números en la fila es divisible por 3 así que lo colocamos a la derecha de la línea vertical.

En esta ocasión solo uno de los números es divisible por 3 así que lo dividimos y colocamos el resultado debajo. Los otros números los copiamos a la siguiente fila sin dividirlos. De esa forma obtenemos la siguiente fila: 1, 7 y 1.

En la nueva fila no hay números divisible por 3 así que tratamos con el siguiente número primo: 5. Como tampoco hay números divisibles por 5 tratamos con el siguiente número primo: 7

Colocamos el 7 a la derecha de la línea vertical porque al menos uno de los números es divisible por 7.

El 7 es el único número divisible por 7 así que realizamos la división y colocamos el resultado en la siguiente fila: 1. Los otros números no son divisibles por 7 así que los copiamos directamente.

Todos los números en la nueva fila son 1 así que damos por terminado el procedimiento.

Multiplicamos los factores a la derecha de la línea vertical para obtener el mínimo común múltiplo: $2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 7$

El mínimo común múltiplo de 12, 14 y 16 es:

$mcm(24,28,32)=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 7=336$

12

14

16

2

6

7

8

2

3

7

4

2

3

7

2

3

7

1

3

1

7

1

7

1

Aplicaciones

El mínimo común múltiplo es útil para calcular cada cuanto coincide eventos que ocurren a diferentes intervalos. Por ejemplo:

En una comunidad atendida por dos líneas de autobuses, una de las líneas ofrece el servicio cada 2 horas y la otra cada 3 horas. El mínimo común múltiplo nos permite averiguar cada cuanto tiempo los autobuses de ambas líneas llegan simultáneamente a la comunidad:

$mcm(2,3)=6$

En el siguiente gráfico ilustra el concepto visualmente. Podemos ver las horas a las que los autobuses de cada línea llega a la comunidad. Las líneas verdes representan la línea con el servicio cada 2 horas y las líneas azules la línea con el servicio cada 3 horas. En la tercera fila podemos ver en rojo las horas en los autobuses de ambas líneas llegan al mismo tiempo.

Al calcular el mínimo común múltiplo de 2 y 3 nos damos cuenta que los autobuses llegan al mismo tiempo cada 6 horas sin necesidad de dibujar el gráfico.

Resumen de la lección

El mínimo común múltiplo de 2 o más números es el menor número distinto de 0 que es múltiplo de esos números.
No existe el mayor de los múltiplos comunes porque los múltiplos de los números son infinitos.
El mínimo común múltiplo de dos o más números se puede calcular mediante los métodos de la factorización completa o de la factorización simultánea.

Términos clave

Lecturas adicionales

Bibliografía

Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239.
Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909.
Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276.

Proyecto: Números naturales

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