Números naturales/Máximo común divisor

Lección 10

Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos números es el mayor factor común de esos números.

Si tenemos dos números 32 y 36 e identificamos sus divisores vemos que: Los divisores de 32 son: $1,2,4,8,16,32$ Los divisores de 36 son: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ Al comparar ambas listas vemos que tienen los siguientes números en común: $1,2,4$ El mayor de ellos es el $4$. Por eso decimos que $4$ es el máximo común divisor de $32$ y $36$.

También es posible identificar el máximo común divisor de 3 o más números.

Si tenemos los números 20, 40, 60 y 100 vemos que: Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 Los divisores de 40 son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 Los divisores de 60 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 Los divisores de 100 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100 Al comparar las cuatro listas vemos que tienen los siguientes números en común: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 El mayor de esos números es el 20 y por lo tanto el máximo común divisor de 20, 40, 60 y 100 es $20$.

El máximo común divisor se representa utilizando el símbolo: $mcd(...)$. Por ejemplo:

El máximo común divisor de 32 y 36 se escribe: $mcd(32,36)=4$ El máximo común divisor de 20, 40, 60 y 100 se escribe: $mcd(20,40,60,100)=20$

Si no se presentan factores primos comunes entre dos o más números, el máximo común divisor es el número $1$. En este caso decimos que los números son primos relativos.

Cálculo

Existen varios métodos para calcular el máximo común divisor de dos o más números. Entre ellos están el método del conjunto de divisores, el método de factorización completa, el método de la factorización simultánea y el algoritmo de Euclides. A continuación describiremos dos de ellos.

Método de factorización completa

Para calcular el máximo común divisor utilizando el método de la factorización completa (también llamado método de la descomposición completa) es necesario seguir estos pasos:

1. Obtener la factorización completa de cada uno de los números.
2. Escribir la factorización completa usando potencias para los números repetidos.
3. Escoger los factores comunes elevados al menor exponente.
4. Multiplicar los factores comunes.

Para calcular el máximo común divisor de 56 y 980 usando el método de la factorización completa procedemos de la siguiente manera: Obtenemos la factorización completa de 56 usando potencias para expresar los números primos repetidos: $56=2^{3}\times 7$ Obtenemos la factorización completa de 980 usando potencias para expresar los números primos repetidos: $980=2^{2}\times 5\times 7^{2}$ Escogemos los factores comunes elevados al menor exponente: $2^{2}$ y $7$ Multiplicamos los factores seleccionados: $2^{2}\times 7=28$ El máximo común divisor de 56 y 980 es: $mcd(56,980)=2^{2}\times 7=28$

Método de factorización simultánea

Para calcular el máximo común divisor mediante la factorización simultánea debemos:

1. Colocar los números en fila.
2. Trazar una línea vertical a la derecha de la fila de números.
3. Identificar el menor número primo que es factor de todos los números en la fila y escribirlo a la derecha de la línea vertical.
4. Dividir todos los números en la fila por el factor identificado.
5. Repetir el proceso hasta que los números no tengan ningún factor primo entre ellos.
6. Multiplicar los factores identificados a la derecha de la línea vertical para obtener el máximo común divisor.

				Para calcular $mcd(12,36,24)$ utilizando el método de descomposición simultánea procedemos de la siguiente manera: Colocamos los números en fila. A la derecha de la fila de números trazamos una línea vertical. Identificamos el menor número primo que es divisor de todos los números en la fila. En este caso es el número 2. Escribimos el factor a la derecha de la línea vertical. Dividimos todos los números por el factor identificado y colocamos el resultado debajo del número correspondiente. Buscamos un número primo que divida todos los números de la nueva lista. De nuevo el 2 es un divisor común. Colocamos el nuevo factor a la derecha de la línea vertical y dividimos todos los números por él, colocando los resultados debajo de cada número. Repetimos el proceso de nuevo, esta vez el menor número primo que es factor común a todos los números en la fila es el 3. Escribimos el nuevo factor a la derecha de la línea vertical y lo usamos para dividir todos los números, colocando los resultados en la siguiente fila. Al escribir los resultados vemos que no tienen factores en común y terminamos el procedimiento. Multiplicamos los factores escritos a la derecha de la línea vertical para obtener el máximo común divisor: $2\times 2\times 3$ El máximo común divisor de 12, 36 y 24 es: $mcd(12,36,24)=2\times 2\times 3=12$
12	24	36	2
6	12	18	2
3	6	9	3
1	2	3

Aplicaciones

El máximo común divisor se utiliza frecuente mente para realizar cálculos con números racionales (fracciones) y para organizar cosas o personas en grupos de un mismo tamaño. Por ejemplo:

Un grupo de personas organizando una colecta de víveres para ayudar a personas afectadas por un desastre natural puede utilizar el máximo común divisor para calcular la mayor cantidad de paquetes de ayuda que pueden armar de forma que todos tenga el mismo número de víveres. Si disponen de 420 latas de aún, 300 cajas de leche y 72 bolsas de arroz y calculan el máximo común divisor: $mcd(72,300,420)=12$ Entonces saben que pueden organizar los víveres en un máximo de 12 paquetes diferentes. También pueden dividir la cantidad de cada uno de los víveres por el máximo común divisor para averiguar cuantos pueden colocar en cada paquete: $72\div 12=6$ $300\div 12=25$ $420\div 12=35$ Cada paquete debe llevar 6 bolsas de arroz, 25 cajas de leche y 35 latas de atún para que todos tenga las mismas cantidades y no sobre nada.

Resumen de la lección

• El máximo común divisor de varios números es el mayor factor común de esos números.
• El máximo común divisor se puede calcular para grupos de dos o más números.
• El máximo común divisor de 3 números $a$, $b$ y $c$ se simboliza: mcd(a, b, c).
• El máximo común divisor se puede calcular mediante el método del conjunto de divisores, el método de factorización completa, el método de la factorización simultánea o utilizando el algoritmo de Euclides.

Términos clave

• Algoritmo de Euclides
• Factorización de enteros
• Máximo común divisor
• Primos relativos

Lecturas adicionales

• Khan Academy > Explicación del máximo común divisor

Bibliografía

• Buján, Victor; Vargas, Gillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239. 
• Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909. 
• Valverde Cervantes, Anthony, ed. (2017). Matemática 7. Puentes del Saber (1.ª edición). San José, Costa Rica: Santillana. p. 272. ISBN 9789930527276. 

Proyecto: Números naturales

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