Lógica proposicional/Proposiciones compuestas

Lección 6

Proposiciones compuestas

Hasta este momento hemos visto que la lógica proposicional trata con enunciados atómicos que llamamos proposiciones y que representamos con letras individuales debido a que no nos interesan sus características internas, solamente su valor de verdad. También nos hemos familiarizado con las principales conectivas lógicas que podemos usar para combinar proposiciones individuales (conjunción, disyunción, implicación) o para cambiar su valor de verdad (negación).

Con lo que sabemos podemos representar en el lenguaje de la lógica proposicional expresiones como «Francia es un país» ( $A$ ), «Los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90° y los cuadrados tienen 4 ángulos de 90°» ( $B\land C$ ) o «no es cierto que el sistema solar tiene nueve planetas» ( $\neg D$ ). Sin embargo su verdadero poder como herramienta de razonamiento se vuelve aparente cuando la usamos para representar expresiones más complejas. Por ejemplo, podemos representar el texto:

«Ni el zorro ni el lince pueden atrapar a la liebre si está alerta y es rápida»

con la proposición:

$(R\land S)\Rightarrow (\neg P\land \neg Q)$

si representamos los hechos en el enunciado de la siguiente forma:

P: El zorro puede atrapar a la liebre.

Q: El lince puede atrapar a la liebre.

R: La liebre está alerta.

S: La liebre es rápida.

Para construir expresiones como la anterior necesitamos dos elementos adicionales: los paréntesis y un método para combinar las expresiones y garantizar que sean fórmulas lógicas bien formadas que podamos usar posteriormente en los procesos de razonamiento.^[1]

Los paréntesis

Los paréntesis nos permiten agrupar expresiones e indicar el orden exacto en el que se deben evaluar.^[1] En el lenguaje natural un enunciado se puede interpretar de formas distintas. Las ambigüedades se resuelven usando el contexto o quedan sin dilucidar. En el lenguaje de la lógica proposicional los significados de las expresiones deben comunicarse de forma precisa y sin ambigüedades para poder usarlas para sacar conclusiones sólidas.

Mientras que natural la expresión «No es cierto que Júpiter es un planeta y el Sol es un planeta» es perfectamente aceptable, en la lógica proposicional es indispensable determinar si la frase «no es cierto que» se aplica a la expresión completa («Júpiter es un planeta y el Sol es un planeta») o solamente a la primera proposición («Júpiter es un planeta») ya que las expresiones resultantes tienen diferentes valores de verdad. Si definimos $J$ como «Júpiter es un planeta» y $S$ como el «Sol es un planeta», podemos interpretar el enunciado como $\neg (J\land S)$ que tiene un valor de verdad $V$ o como $\neg J\land S$ , que tiene un valor de verdad $F$ .

Método para crear fórmulas bien formadas

Las proposiciones atómicas y las conectivas lógicas son los componentes básicos de la lógica proposicional y a partir de ellas se pueden construir proposiciones complejas que se pueden usar para sacar conclusiones. Sin embargo, no se pueden combinar de forma arbitraria. Es necesario que tengan una estructura que se ajuste a la gramática de este tipo de lógica. Para garantizar que una expresión sea una fórmula bien formada debemos seguir estas reglas:^[2]

Todas las proposiciones atómicas (letras individuales) son fórmulas bien formadas.
Si $\alpha$ es una fórmula bien formada, $\neg \alpha$ también es una fórmula bien formada.
Si $\beta$ $\beta$ y $\gamma$ $\gamma$ son fórmulas bien formadas, las siguientes expresiones también son fórmulas bien formadas:
1. $(\beta \land \gamma )$
2. $(\beta \lor \gamma )$
3. $(\beta \Rightarrow \gamma )$
4. $(\beta \Leftrightarrow \gamma )$
Ninguna otra cosa es una fórmula bien formada.

El símbolo $\Leftrightarrow$ corresponde a la conectiva lógica de equivalencia que estudiaremos en la lección 8.

Como una conveniencia se suelen omitir los paréntesis más externos, de forma que $\delta \land \epsilon$ y $(\delta \land \epsilon )$ se consideran la misma expresión. Sin embargo es necesario colocarlos en su lugar si la fórmula se va a combinar como parte de otra fórmula más compleja como $(\delta \land \epsilon )\lor \zeta$ .

Para facilitar la comprensión de este procedimiento, la siguiente tabla muestra varias proposiciones y las razones por las cuales se consideran fórmulas bien formadas.

Fórmula	Explicación
$A$	Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1. $A$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada.
$\neg B$	Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1. $B$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. La negación de una fórmula bien formada también es una fórmula bien formada según la regla #2 Dado que $B$ es una fórmula bien formada, su negación $\neg B$ también es una fórmula bien formada.
$(C\land D)$	Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1. $C$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. $D$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. La conjunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.1 Dado que $C$ y $D$ son fórmulas bien formadas, su conjunción $(C\land D)$ también es una fórmula bien formada.
$(\neg (C\land \neg D)\lor E)$	Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1. $C$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. $D$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. $E$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. La negación de una fórmula bien formada también es una fórmula bien formada según la regla #2 Dado que $D$ es una fórmula bien formada, su negación $\neg D$ también es una fórmula bien formada. La conjunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.1 Dado que $C$ y $\neg D$ son fórmulas bien formadas, su conjunción $(C\land \neg D)$ también es una fórmula bien formada. La negación de una fórmula bien formada también es una fórmula bien formada según la regla #2 Dado que $(C\land \neg D)$ es una fórmula bien formada, su negación $\neg (C\land \neg D)$ también es una fórmula bien formada. La disyunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.2 Dado que $\neg (C\land \neg D)$ y $E$ son fórmulas bien formadas, su disyunción $(\neg (C\land \neg D)\lor E)$ también es una fórmula bien formada.
$((R\land S)\Rightarrow (\neg P\land \neg Q))$	Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1. $R$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. $S$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. $P$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. $Q$ es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada. La negación de una fórmula bien formada también es una fórmula bien formada según la regla #2 Dado que $P$ es una fórmula bien formada, su negación $\neg P$ también es una fórmula bien formada. Dado que $Q$ es una fórmula bien formada, su negación $\neg Q$ también es una fórmula bien formada. La conjunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.1 Dado que $R$ y $S$ son fórmulas bien formadas, su conjunción $(R\land S)$ también es una fórmula bien formada. Dado que $\neg P$ y $\neg Q$ son fórmulas bien formadas, su conjunción $(\neg P\land \neg Q)$ también es una fórmula bien formada. La implicación de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.3 Dado que $(R\land S)$ y $(\neg P\land \neg Q)$ son fórmulas bien formadas, su implicación $((R\land S)\Rightarrow (\neg P\land \neg Q))$ también es una fórmula bien formada.

En todos los casos anteriores es posible eliminar los paréntesis de la fórmula más externa ya que eso no cambia el significado de la expresión.

Resumen de la lección

El lenguaje de la lógica proposicional permite construir expresiones complejas.
Las expresiones construidas con los elementos de la lógica proposicional deben ser fórmulas bien formadas.
Los paréntesis permiten indicar sin ambigüedades el significado de las expresiones con múltiples conectivas lógicas.
Las fórmulas bien formadas son proposiciones atómicas, la negación de otras fórmulas bien formadas o la combinación de dos fórmulas bien formadas mediante las conectivas lógicas de conjunción, disyunción o implicación y su agrupación con paréntesis.

Términos clave

Bibliografía

↑ ^1,0 ^1,1 Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.
↑ Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.

Proyecto: Lógica proposicional

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[klement-1] 1,0 ^1,1 Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Massachusetts, Estados Unidos. Consultado el 11 de diciembre de 2015.

[lau-2] Lau, Joe; Chan, Jonathan. «Sentential logic». Critical Thinking Web (en inglés). Consultado el 11 de diciembre de 2015.

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