Ley de Gauss

Flujo eléctrico ^[1]

Representa una medida del campo eléctrico o del número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie.

$\Phi _{E}=\int {\vec {E}}\cdot d{\vec {A}}$

Carga encerrada y flujo eléctrico

Existe una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad neta de carga dentro de una superficie cerrada y el flujo eléctrico a través de esa superficie dada por la ley de Gauss.

Cálculo del flujo eléctrico

Flujo eléctrico de un campo eléctrico uniforme para una superficie plana:

$\Phi _{E}={\vec {E}}\cdot {\vec {A}}$

Ley de Gauss

$\Phi _{E}=\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {A}}={Q_{enc} \over \epsilon _{0}}$

"El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total (neta) dentro de la superficie, dividida entre $\epsilon _{0}$ ."

Aplicaciones de la ley de Gauss

La ley de Gauss es válida para cualquier distribución de cargas y cualquier superficie cerrada. Se puede utilizar en dos casos:

Si se conoce la distribución de cargas y la simetría permite calcular la integral, se obtiene el campo.
Si se conoce el campo, se obtiene la distribución de carga.

Simetría axial, plana y esférica

Campo de una esfera conductora con carga.
Campo de una carga lineal.
Campo de una lámina plana infinita cargada.
Campo entre láminas conductoras paralelas y con cargas opuestas.
Campo de una esfera con carga uniforme.

Campo de una esfera conductora con carga

Campo eléctrico dentro y fuera de una esfera con carga positiva $q$ y radio $R$ .

El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
Campo eléctrico en la superficie $E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over R^{2}}$
Campo eléctrico fuera $E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r^{2}}$

Campo de una carga lineal

Campo eléctrico de un alambre delgado infinito con densidad lineal de carga $\lambda$ a una distancia $r$ .

$E={1 \over 2\pi \epsilon _{0}}{\lambda \over r}$

Campo de una lámina plana infinita cargada

Campo eléctrico de una lámina infinita con densidad superficial de carga positiva $\sigma$ .

$E={\sigma \over 2\epsilon _{0}}$

Campo entre láminas conductoras paralelas y con cargas opuestas

Campo eléctrico entre láminas paralelas infinitas con densidad superficial de carga opuesta ( $+\sigma$ y $-\sigma$ ).

$E={\sigma \over \epsilon _{0}}$

Campo de una esfera con carga uniforme

Campo eléctrico a una distancia $r$ desde el centro de una esfera de radio $R$ y carga $Q$ distribuida uniformemente por todo el volumen de la esfera.

Campo eléctrico dentro de la esfera $E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q\;r \over R^{3}}$
Campo eléctrico fuera de la esfera $E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r^{2}}$

Carga y campo en conductores

Solo se puede localizar carga dentro de un conductor si se tiene una cavidad dónde ubicarla. Esto genera que se disponga la misma cantidad de carga en sentido opuesto sobre la superficie que encierra la cavidad.

El campo eléctrico dentro de un conductor $E=0$
El campo eléctrico en la superficie de un conductor es $E_{\perp }={\sigma \over \epsilon _{0}}$