Lógica proposicional/Deducciones condicionales

Lección 11

Deducciones condicionales

Las deducciones directas nos permiten derivar cualquier conclusión válida a partir de las premisas. Sin embargo, en algunos casos el proceso puede ser largo o los pasos necesarios pueden ser difíciles de identificar. Para facilitar las deducciones en esos casos se pueden usar otras técnicas como las deducciones condicionales y las deducciones indirectas.^[1]

La técnica de deducción condicional permite demostrar la verdad de una implicación usando una pequeña demostración incorporada en el cuerpo de la demostración principal. Esta técnica trabaja asumiendo que el antecedente de la implicación es verdadero. Si a partir de esa suposición y de las premisas y las proposiciones previamente demostradas es posible concluir que el consecuente es verdadero, entonces podemos concluir que la implicación es verdadera. En los pasos siguientes de la demostración principal se puede usar la implicación como una proposición verdadera, citando la deducción incorporada como demostración condicional.^[1] La conclusión de la demostración condicional depende solamente de las premisas originales y no de la proposición que asumimos como verdadera para realizarla y que es descartada al final de la subdemostración.^[2]

Justificación empírica

Una demostración condicional no proporciona el valor de verdad de una proposición atómica. Lo que nos dice es que una implicación (u otra expresión que se puede transformar en una usando las equivalencias lógicas) es verdadera bajo todas las posibles asignaciones de valores de verdad de las expresiones que la componen (es una tautología), y que la podemos usar en un proceso de razonamiento como una verdad demostrada.

Si tenemos una expresión de la forma $\alpha \Rightarrow \beta$ y revisamos la tabla de verdad correspondiente podemos observar que será verdadera ( $V$ ) sin importar el valor de $\beta$ siempre que $\alpha$ sea falsa ( $F$ ). Por eso para este caso no necesitamos realizar una demostración.

Cuando $\alpha$ es verdadera el valor de verdad de la implicación depende del valor de verdad de $\beta$ . Si $\beta$ es verdadera, entonces la implicación será verdadera. Pero si $\beta$ es falsa, la implicación también lo será. Por eso para que la implicación sea una tautología debemos demostrar que $\beta$ es verdadera siempre que $\alpha$ es verdadera. Para lograrlo realizamos una demostración condicional asumiendo que $\alpha$ es verdadera y deduciendo $\beta$ beta a partir de ella y de las otras premisas disponibles.

Procedimiento

Una demostración condicional normalmente es parte de una demostración directa a menos que la conclusión que deseamos demostrar sea la misma implicación. Se compone de 3 elementos principales: la suposición, el proceso de deducción y la conclusión. La suposición es la proposición que forma el antecedente de la implicación que tratamos de demostrar. El proceso de deducción nos muestra como llegar a la conclusión a partir de la suposición y las premisas y proposiciones preexistentes, usando las mismas reglas de inferencia y equivalencias lógicas de las demostraciones directas. La conclusión es el consecuente de la implicación y lo que nos permite afirmar que esta última es una tautología.

Para diferenciar la demostración condicional del resto de la demostración se le señala con algún tipo de indicador visual, normalmente con sangrado adicional o con líneas horizontales, y se coloca al final de la misma la proposición que se demostró, indicando el mecanismo de la demostración y las líneas que la componen. La siguiente tabla muestra la estructura general de este tipo de demostraciones.^[2]

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1...	...	Premisas	n/a
...	...	Proposiciones demostradas en base a las premisas.	n/a
n	$\alpha$	Suposición para realizar una demostración condicional	n/a
...	...	Proposiciones demostradas en base a la suposición y a las premisas.	...
m	$\beta$	El consecuente de la proposición que se desea demostrar	...
m+1	$\alpha \Rightarrow \beta$	Deducción condicional	n...m
...	...	Proposiciones adicionales demostradas usando el resultado de la deducción condicional (m+1)	...
...	...	Conclusión	...

Es importante tener en cuenta las siguientes consideraciones cuando se trabaja con demostraciones condicionales:

Ni la suposición ni las las proposiciones entre las líneas n y m se pueden usar fuera del contexto de la demostración condicional. Solamente podemos usar su resultado (la línea m+1).
En determinados problemas podemos encontrar la necesidad de realizar una demostración condicional dentro de otra. Esto se puede hacer fácilmente siguiendo el mismo procedimiento. La única diferencia es que se deben agregar niveles adicionales de sangrado para distinguir claramente el alcance de cada una de las demostraciones.

Un ejemplo completo

Considere el siguiente argumento:

Si llueve Juan y María irán a ver una película o mirarán un partido de fútbol en la televisión. Pero María no quiere ver más partidos de fútbol así que no harán eso. Por lo tanto, si llueve irán a ver una película.

Al expresar las afirmaciones de forma simbólica tenemos:

A: Llueve.
B: Juan y María verán una película.
C: Juan y María verán un partido de fútbol.

Las premisas y la conclusión en formato proposicional son:

Premisa: Si llueve Juan y María irán a ver una película o mirarán un partido de fútbol en la televisión.

A\Rightarrow (B\lor C)

Premisa: Pero María no quiere ver más partidos de fútbol.

\neg C

Conclusión: Si llueve irán a ver una película.

A\Rightarrow B

La siguiente tabla muestra la información anterior y el proceso de razonamiento usando una deducción condicional.

Identificador	Proposición	Regla	Dependencias
1	$A\Rightarrow (B\lor C)$	Premisa	n/a
2	$\neg C$	Premisa	n/a
3	$A$	Suposición para realizar una demostración condicional	n/a
4	$(B\lor C)$	Modus ponens (MP)	1, 3
5	$B$	Silogismo disyuntivo (SD)	2, 4
6	$A\Rightarrow B$	Deducción condicional	3, 4, 5

La deducción condicional se encuentra en las líneas 3, 4 y 5. La número 3 es la suposición y se corresponde con el antecedente de la implicación que queremos demostrar. La línea 5 se corresponde con el consecuente y la línea 4 es un paso intermedio. La línea 6 contiene la implicación que logramos demostrar y que es la única proposición que podemos usar posteriormente fuera del contexto de la deducción condicional. En este caso en particular, la línea 6 también es la conclusión general del problema y por lo tanto la última línea de la demostración.

Resumen de la lección

Una deducción condicional es una subdeducción dentro de una deducción directa.
Las deducciones condicionales nos permite demostrar proposiciones de la forma $\alpha \Rightarrow \beta$ .
Las deducciones condicionales trabajan asumiendo que el antecedente de la implicación es verdadero y usándolo para deducir el consecuente.
Si se puede deducir el consecuente a partir del antecedente y de las premisas, la implicación es verdadera.
No es necesario realizar una demostración cuando el antecedente se asume falso porque en ese caso la implicación siempre es verdadera sin importar el valor del consecuente.
Este método no nos dice nada sobre el valor de verdad del consecuente ni del antecedente.
Las proposiciones intermedias generadas durante la deducción condicional no se pueden usar fuera del alcance de esta última porque dependen de una suposición.
Puede haber deducciones condicionales anidadas dentro de otras deducciones condicionales.

Términos clave

Bibliografía

↑ ^1,0 ^1,1 Klement, Kevin. Propositional Logic [En línea]. Massachusetts, Estados Unidos: The Internet Encyclopedia of Philosophy. Consultada: 2015-12-10. Disponible en: http://www.iep.utm.edu/prop-log/
↑ ^2,0 ^2,1 Hausman, Alan; Kahane, Howard; Tidman, Paul (2013). Logic and Philosophy: A Modern Introduction (en inglés) (12.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Wadsworth, Cengage Learning. p. 460. ISBN 978-1-133-05000-1.

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[klement-1] 1,0 ^1,1 Klement, Kevin. Propositional Logic [En línea]. Massachusetts, Estados Unidos: The Internet Encyclopedia of Philosophy. Consultada: 2015-12-10. Disponible en: http://www.iep.utm.edu/prop-log/

[hausman2012-2] 2,0 ^2,1 Hausman, Alan; Kahane, Howard; Tidman, Paul (2013). Logic and Philosophy: A Modern Introduction (en inglés) (12.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Wadsworth, Cengage Learning. p. 460. ISBN 978-1-133-05000-1.

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