Estática y dinámica de fluidos

Densidad y presión

Densidad

La densidad es una propiedad de todos los materiales, con esta se define la cantidad de masa que se encuentra por unidad de volumen dentro de dicho material. Un material homogéneo es aquel que tiene la misma densidad en todas sus partes, un ejemplo de estos materiales es el hielo y el hierro. Para definir la densidad se usa la letra griega $\rho$ y se define como:

$\rho ={\frac {m}{V}}$

donde $m$ es la masa del material homogéneo y $V$ es el volumen total del material.

En el sistema SI, la unidad de la densidad es $\left({\frac {Kg}{m^{3}}}\right)$

Hay que tener en cuenta que dos objetos que estén hechos por un mismo material, pero que tengan distintas formas presenta la misma densidad, en ejemplo, un clavo de acero y una llave de hierro, aunque la forma de estos objetos sea distintas, ambos presentan la misma densidad.

Presión

La presión y la fuerza están relacionadas, sin embargo, estos conceptos son distintos. La presión $P$ se define como la fuerza que actúa por unidad de área, donde la fuerza que actúa corresponde a ser la magnitud de la componente perpendicular al área $A$, siendo definida de la siguiente forma:

$P={\frac {F_{\perp }}{A}}$

Aunque la fuerza sea una cantidad vectorial, para definir la presión usamos solo magnitud de la fuerza. La unidad del SI para la presión es el pascal, donde

$1$ Pascal = $1$ Pa = $1\left({\frac {N}{m^{2}}}\right)$

Principio de Pascal

Principio de Pascal realizado en una prensa hidráulica.

Si la presión se ejerce sobre parte de un fluido incompresible, se transmitirá a todas las partes del fluido sin pérdidas. Este principio puede enunciarse de la siguiente forma

Cuando ocurre un cambio en la presión en cualquier punto de un fluido confinado, se presenta un cambio igual en la presión en todos los puntos en el fluido.

El principio de Pascal es la base de muchos dispositivos hidráulicos modernos, como los frenos de los automóviles, grandes máquinas que mueven la tierra y ascensores de coches. Tal como se muestra en la figura y de acuerdo con el principio enunciado, se puede formular de la siguiente forma:

$\Delta P={\frac {F_{ent}}{A_{ent}}}={\frac {F_{sal}}{A_{sal}}}$

donde los subíndices ent representan la fuerza que se aplica hacia dentro del sistema y los subíndices sal representan la fuerza que ejerce el sistema hacia afuera, teniendo para cada caso una fuerza $F$ y un área respectiva $A$.

Principio de Arquímedes

Principio de Arquímedes de un objeto sumergido a una altura h en un fluido.

Los objetos sumergidos en un fluido parecen pesar menos que cuando están fuera de él. Esto es debido a la fuerza que ejerce el fluido sobre el objeto, esta fuerza es conocida como fuerza de flotación y ocurre porque la presión del líquido se incrementa con la profundidad, es decir, al sumergir el objeto cada vez más profundo en el fluido se presentará una presión mayor ascendente que la presión descendente, tal como se presenta en la figura, es posible enunciar este principio de la siguiente forma:

Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, este ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Lo que corresponde a ser descrito mediante el siguiente proceso:

$F_{B}=\rho _{f}\,g\,A\,(h_{2}-h_{1})$

$F_{B}=\rho _{f}\,g\,A\,\Delta h$

considerando $V=A\,\Delta h$, se tiene

$F_{B}=\rho _{f}\,V\,g$

usando la definición de densidad, es posible despejar la masa, tal que $m_{f}=\rho _{f}\,V$, siendo este término la masa de fluido desplazado por el objeto, entonces:

$F_{B}=m_{f}\,g$

donde $F_{B}$ corresponde a ser la fuerza de flotación, $g$ es la gravedad, $A$ es el área superior e inferior del objeto y los términos con subíndice $f$ corresponde a ser las propiedades del fluido, tales como la masa y la densidad.

Conceptos generales de flujo y fluidos

Flujo:

Cuando se habla de flujo y el movimiento de fluidos resulta ser extremadamente complejo, tal como se presenta en las corrientes de los rápidos de los ríos o en las llamas de una fogata. Es por esto, que consideraremos fluidos ideales que pueden ser tratados de forma más simple, con lo cual se puede describir el modelo de flujo de un fluido ideal considerando las siguientes cuatro suposiciones:

1. Flujo estable: En un flujo estable (laminar), todas las partículas que pasan por un punto tienen la misma velocidad.

2. Flujo irrotacional: En flujo irrotacional el fluido no tiene cantidad de movimiento angular en torno a cualquier punto. Si una pequeña rueda de paletas colocada en cualquier parte en el fluido no gira alrededor del centro de masa de la rueda, el flujo es irrotacional.

3. Fluido no viscoso: En este tipo de fluido no viscoso, se desprecia la fricción interna. Un objeto que se mueve a través del fluido experimenta fuerza no viscosa.

4. Fluido incompresible: La densidad de un fluido incompresible es constante.

Ecuación de continuidad:

Flujo de un fluido a través de un tubo de diámetro variable.

Consideremos el flujo laminar estable de un fluido a través de un tubo cerrado como se muestra en la imagen. Para determinar cómo cambia la rapidez del fluido cambiando el tamaño del tubo. La tasa de masa (o flujo másico) se define como la masa $\Delta m$ de fluido que pasa por un punto dado por unidad de tiempo $\Delta t$.

tasa de flujo de masa = ${\frac {\Delta m}{\Delta t}}.$

usando relaciones de densidad con la masa

${\frac {\Delta m_{1}}{\Delta t}}={\frac {\rho _{1}\,\Delta V_{1}}{\Delta t}}={\frac {\rho _{1}\,A_{1}\,\Delta l_{1}}{\Delta t}}=\rho _{1}\,A_{1}\,v_{1}$

Dado a que no hay partes del fluido que fluya por los lados, entonces las tasas de flujo que pasan por $A_{1}$ y $A_{2}$ deben ser iguales, teniendo finalmente que la ecuación de continuidad es

$\rho _{1}\,A_{1}\,v_{1}=\rho _{2}\,A_{2}\,v_{2}$

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 3: Estática y dinámica de fluídos

Anexos

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Proyecto: Física 1 para ingenieros

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