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Se presentan a continuación, ejercicios de cálculo organizados por tema, evaluando diferentes conceptos y con sus soluciones correspondientes.
== Números Complejos ==
=== Ejercicio 1 ===
{{Ecuación|<math>{|z_0|}^2 - a > 0 \Leftrightarrow {|z_0|}^2 > a</math>.||center}}
}}
== Función Inversa ==
Sea <math>\displaystyle F(x) = \int_{\pi}^{x} \frac{e^t}{3+sen(t)} dt</math>, cual es el valor de <math>(F^{-1})'(0)</math>?
{{Cajón|Solución|Se cumple que <math>\displaystyle (F^{-1})'(0) = \frac{1}{F'(F^{-1}(0))}</math><br />
Y <math>F^{-1}(0) = A \Leftrightarrow F(A) = 0</math>, y esto sucede cuando <math>x = \pi \text{ en } F(x)</math> ya que:<br />
<math>\displaystyle F(\pi) = \int_{\pi}^{\pi} \frac{e^t}{3+sen(t)} dt = 0</math>, puesto que una integral evaluada entre <math>\pi \text{ y } \pi</math> vale 0.<br /><br />
Entonces <math>F^{-1}(0) = A = \pi</math> y ahora solo resta evalular <math>F'(F^{-1}(0)) = F'(\pi)</math>.<br />
<math>F'(x)</math> por ser <math>\frac{e^t}{3+sen(t)}</math> continua (composición de funciones continuas) <math>\forall x \in \mathbb{R}</math>, entonces puedo aplicar el [[Teorema Fundamental del Cálculo]] que dice que <math>\displaystyle F'(x) = \frac{e^x}{3+sen(x)}</math>.<br />
<math>\displaystyle F'(\pi) = \frac{e^\pi}{3+sen(\pi)} = \frac{e^\pi}{3} \text{ y finalmente } (F^{-1})'(0) = \displaystyle \frac{1}{ \frac{e^\pi}{3}} = \frac{3}{e^\pi} = 3 e^{-\pi}</math>
}}
Considere las raices cúbicas de <math>i</math>, la unidad imaginaria, y las siguientes afirmaciones:
== Series ==
# Dos de las raíces tiene la misma parte imaginaria.
=== Ejercicio 1 ===
# Una de las raíces es imaginaria pura.
<math>a_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos(x) - sen(x)}{(sen(x) + cos(x))^{n+1}} dx \text{ y } b_n = \frac{1}{n} - a_n \text{ , con } n \in \mathbb{R}</math><br />
# Las raíces se corresponden con los vértices de un triángulo equilátero con centro en el origen.
Sean las series: <math>(I)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n</math> y <math>(II)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}b_n</math><br />
{{Cajón|Solución|Comienzo avierguando los complejos que cumplen: <math>z = \sqrt[3]{i}</math><br />
Estudiar convergencia de la series.
Para saber las raices n-esimas de un complejo <math>a+bi</math>, debo averiguar su módulo y argumento:<br />
{{Cajón|Solución|Aplico un cambio de variable a la integral:<br />
<math>u\rho = sen(x) |a+bi| cos(x)= \textsqrt{a^2 y+ b^2} du = cos(x)\sqrt{0^2 -+ sen(x)1^2} = 1</math><br /><br />
<math>\varphi = argumento(a+bi) = tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = tan^{-1}\left(\frac{1}{0}\right) = tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}</math><br />
Cambiando tambien los extremos:<br />
<math>sen(0)Las +raices cos(0)3 =tienen 1módulo <math>\textsqrt[3]{\rho}</math> y }argumento sen<math>\left(frac{\frac{\pivarphi}{42}\right) + cos\left(\frac{2k\pi}{43}\right), =k \in \sqrt{0,1,2\} </math><br /><br />
<math>\displaystylez_0 = 1\int_1^{ang\sqrtfrac{2}}\frac{1pi}{u^{n+1}6}</math>, du<math>z_1 = \frac{-1}{n u^n} \bigg|_{1}^{ang\sqrtfrac{2}} = 5\frac{-1pi}{n \sqrt{2}^n6}</math> +y \frac{1}{n 1^n}<math>z_2 = 1\ang\frac{1}{n} - 9\frac{1pi}{n \sqrt{2}^n6}</math><br /><br />
Entonces:<br />
<math>a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br />
<math>b_n = \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br />
Aplicamos el [[Criterio del cociente para series]] sobre <math>b_n</math>:<br /><br />
<math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{(n+1) \sqrt{2}^{n+1}}}{\frac{1}{n \sqrt{2}^n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n \sqrt{2}^n}{(n+1) \sqrt{2}^{n+1}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{(n+1)\sqrt{2}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{\sqrt{2}n + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1</math><br />
<math>\Rightarrow b_n</math> converge.<br /><br />
Se sabe que <math>\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}</math> diverge, entonces si: <math>\displaystyle a_n = \underbrace{\frac{1}{n}}_\text{Diverge} - \underbrace{\frac{1}{n \sqrt{2}^n}}_\text{Converge}</math><br />
Y la suma de algo que diverge menos algo que converge, evidentemente sigue divergiendo.<br / >
<math>\Rightarrow a_n</math> diverge.
}}
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