Cálculo y análisis matemático/Ejercicios resueltos de Cálculo

Se presentan a continuación, ejercicios de cálculo organizados por tema, evaluando diferentes conceptos y con sus soluciones correspondientes.

Números Complejos

Ejercicio 1

Sean $a\in \mathbb {R} ;z,z_{0}\in \mathbb {C} .{\text{ Con }}z=x+iy$.
¿Qué representa la ecuación $z{\bar {z}}+z_{0}{\bar {z}}+{\bar {z_{0}}}z+a=0$ en el plano $xy$?

Solución

Consideramos $z_{0}=b+ic$, y uso la siguiente propiedad de números complejos: $z{\bar {z}}={|z|}^{2}=x^{2}+y^{2}$ ${\begin{array}{ccccccccc}z{\bar {z}}&+&z_{0}{\bar {z}}&+&{\bar {z_{0}}}z&+&a&=&0\\x^{2}+y^{2}&+&(b+ic)(x-iy)&+&(b-ic)(x+iy)&+&a&=&0\\x^{2}+y^{2}&+&bx+cy+i(cx-by)&+&bx+cy-i(cx-by)&+&a&=&0\\x^{2}+y^{2}&+&bx+cy\ {\cancel {+i(cx-by)}}&+&bx+cy\ {\cancel {-i(cx-by)}}&+&a&=&0\end{array}}$ $\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2bx+2cy+a=0$ A partir de acá tengo dos maneras de proceder, dependiendo cuales de las Fórmulas de la Circunferencia uso. Una de ellas dice que: $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\ (A,B,C\in \mathbb {R} )\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}A=2b\\B=2c\\C=a\end{array}}\right.$ Y se debe cumplir que el radio sea un número real positivo, dado por la fórmula: ${\sqrt {{\frac {A^{2}}{4}}+{\frac {B^{2}}{4}}-C}}={\sqrt {{\frac {{(2b)}^{2}}{4}}+{\frac {{(2c)}^{2}}{4}}-a}}={\sqrt {{\frac {4b^{2}}{4}}+{\frac {4c^{2}}{4}}-a}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-a}}={\sqrt {{|z_{0}|}^{2}-a}}$ En el caso de cumplirse, además obtenemos el centro de la circunferencia dado por la fórmula: $\left({\frac {-A}{2}},{\frac {-B}{2}}\right)=(-b,-c)$ Otra de las Fórmulas de la Circunferencia dice: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ donde $(a,b)$ es el centro y $r$ el radio. Para llegar a esta fórmula tenemos que obtener el "cuadrado completo" de la ecuación: $x^{2}+y^{2}+2bx+2cy+a=0\Leftrightarrow x^{2}+2bx+y^{2}+2cy+b^{2}+c^{2}=-a+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (x+b)^{2}+(y+c)^{2}=b^{2}+c^{2}-a$ . Entonces la respuesta es, que es una circunferencia si se cumple la condición: ${|z_{0}|}^{2}-a>0\Leftrightarrow {|z_{0}|}^{2}>a$.

Ejercicio 2

Considere las raíces cúbicas de $i$, la unidad imaginaria, y las siguientes afirmaciones:

1. Dos de las raíces tiene la misma parte imaginaria.
2. Una de las raíces es imaginaria pura.
3. Las raíces se corresponden con los vértices de un triángulo equilátero con centro en el origen.

Solución

Comienzo avierguando los complejos que cumplen: $z={\sqrt[{3}]{i}}$ Para saber las raíces n-esimas de un complejo $a+bi$, debo averiguar su módulo y argumento: $\rho =|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {0^{2}+1^{2}}}=1$ $\varphi =argumento(a+bi)=tan^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)=tan^{-1}\left({\frac {1}{0}}\right)=tan^{-1}(\infty )={\frac {\pi }{2}}$ Las raíces 3 tienen módulo ${\sqrt[{3}]{\rho }}$ y argumento ${\frac {{\frac {\varphi }{2}}+2k\pi }{3}},k\in \{0,1,2\}$ $z_{0}=1\angle {\frac {\pi }{6}}$, $z_{1}=1\angle {\frac {5\pi }{6}}$ y $z_{2}=1\angle {\frac {9\pi }{6}}$ Y su representación en el plano es la siguiente: De donde se deduce que las 3 afirmaciones son correctas.

Función Inversa

Ejercicio 1

Sea $\displaystyle F(x)=\int _{\pi }^{x}{\frac {e^{t}}{3+sen(t)}}dt$, cual es el valor de $(F^{-1})'(0)$?

Solución

Se cumple que $\displaystyle (F^{-1})'(0)={\frac {1}{F'(F^{-1}(0))}}$ Y $F^{-1}(0)=A\Leftrightarrow F(A)=0$, y esto sucede cuando $x=\pi {\text{ en }}F(x)$ ya que: $\displaystyle F(\pi )=\int _{\pi }^{\pi }{\frac {e^{t}}{3+sen(t)}}dt=0$, puesto que una integral evaluada entre $\pi {\text{ y }}\pi$ vale 0. Entonces $F^{-1}(0)=A=\pi$ y ahora solo resta evalular $F'(F^{-1}(0))=F'(\pi )$. $F'(x)$ por ser ${\frac {e^{t}}{3+sen(t)}}$ continua (composición de funciones continuas) $\forall x\in \mathbb {R}$, entonces puedo aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo que dice que $\displaystyle F'(x)={\frac {e^{x}}{3+sen(x)}}$. $\displaystyle F'(\pi )={\frac {e^{\pi }}{3+sen(\pi )}}={\frac {e^{\pi }}{3}}{\text{ y finalmente }}(F^{-1})'(0)=\displaystyle {\frac {1}{\frac {e^{\pi }}{3}}}={\frac {3}{e^{\pi }}}=3e^{-\pi }$

Series

Ejercicio 1

$a_{n}=\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {cos(x)-sen(x)}{(sen(x)+cos(x))^{n+1}}}dx{\text{ y }}b_{n}={\frac {1}{n}}-a_{n}{\text{ , con }}n\in \mathbb {R}$
Sean las series: $(I)\ \displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ y $(II)\ \displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }b_{n}$
Estudiar convergencia de la series.

Solución

Aplico un cambio de variable a la integral: $u=sen(x)+cos(x){\text{ y }}du=cos(x)-sen(x)$ Cambiando también los extremos: $sen(0)+cos(0)=1{\text{ y }}sen\left({\frac {\pi }{4}}\right)+cos\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}$ $\displaystyle \int _{1}^{\sqrt {2}}{\frac {1}{u^{n+1}}}du={\frac {-1}{nu^{n}}}{\bigg |}_{1}^{\sqrt {2}}={\frac {-1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}+{\frac {1}{n1^{n}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}$ Entonces: $a_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}$ $b_{n}={\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}$ Aplicamos el Criterio del cociente para series sobre $b_{n}$: $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\frac {1}{(n+1){\sqrt {2}}^{n+1}}}{\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n{\sqrt {2}}^{n}}{(n+1){\sqrt {2}}^{n+1}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{(n+1){\sqrt {2}}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{{\sqrt {2}}n+{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1$ $\Rightarrow b_{n}$ converge. Se sabe que $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n}}$ diverge, entonces si: $\displaystyle a_{n}=\underbrace {\frac {1}{n}} _{\text{Diverge}}-\underbrace {\frac {1}{n{\sqrt {2}}^{n}}} _{\text{Converge}}$ Y la suma de algo que diverge menos algo que converge, evidentemente sigue divergiendo. $\Rightarrow a_{n}$ diverge.

Proyecto de aprendizaje

• Cálculo y análisis matemático