Diferencia entre revisiones de «Cálculo y análisis matemático/Ejercicios resueltos de Cálculo»
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Línea 9:
{{Cajón|Solución|
Considero <math>z_0 = b + ic</math>, luego:
{{Ecuación | <math>\begin{array}{ccccccccc}
z\bar{z} & + & z_0 \bar{z} & + & \bar{z_0} z & + & a & = & 0 \\
x^2 + y^2 & + & (b+ic)(x-iy) & + & (b-ic)(x+iy) & + & a & = & 0 \\
x^2 + y^2 & + & bx + cy + i(cx - by) & + & bx + cy - i(cx - by) & + & a & = & 0\\
x^2 + y^2 & + & bx + cy\ \cancel{+ i(cx - by)} & + & bx + cy\ \cancel{- i(cx - by)} & + & a & = & 0
\end{array}</math> || center}}
<math>\Rightarrow x^2 + y^2 + 2bx + 2cy + a = 0</math>
<br/ ><br/ >
Haciendo uso de la [[Ecuación de la Circunferencia]] deducimos que, en el caso de ser una circunferencia:<br /
{{Ecuación|<math>x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\ (A,B,C \in \mathbb{R}) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2b\\ B = 2c \\ C = a \end{array} \right.</math>||center}}
<br /
Y se debe cumplir que el radio sea un número real positivo, dado por la fórmula:
{{Ecuación|<math> \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C} = \sqrt{\frac{{(2b)}^2}{4} + \frac{{(2c)}^2}{4} - a} = \sqrt{\frac{4b^2}{4} + \frac{4c^2}{4} - a} = \sqrt{b^2 + c^2 - a} = \sqrt{{|z_0|}^2 - a}</math>||center}}
En el caso de cumplirse, además obtenemos el centro de la circunferencia dado por la fórumula:
{{Ecuación|<math>\left( \frac{-A}{2}, \frac{-B}{2}\right)</math>||center}}
Entonces la
{{Ecuación|<math>{|z_0|}^2 - a > 0 \Leftrightarrow {|z_0|}^2 > a</math>.||center}}
}}
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