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Diferencia entre revisiones de «Propiedades de la transformada de Fourier»

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Línea 1:
== Tabla de PropiedadesDefinición de la transformada de Fourier ==
 
<math>
\begin{align}
& \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t)\cdot e^{-j\omega t}\partial t} \\
& \mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]=f(t)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega )\cdot e^{+j\omega t}\partial \omega } \\
\end{align}
</math>
 
== Tabla resumen de propiedades ==
{| class="wikitable"
! Propiedad !! Definición
|-
|- style="height:100px"
|Linealidad||<math>\mathbb{F}\left[ \alpha f(t)+\beta g(t) \right]=\alpha F(\omega )+\beta G(\omega )</math>▼
| Linealidad
|-
|Dualidad|| <math>\ \mathbb{F}\left[F \alpha f(t)+\beta g(t) \right]=2\pialpha fF(\omega )+\beta G(-\omega )</math>
|- style="height:100px"
|-
| Dualidad
|Cambio de escala||<math>\mathbb{F}[f(at)]=\frac{1}{\left| a \right|}F\left( \frac{\omega }{a} \right)</math>
| <math>\mathbb{F}\left[ F(t) \right] = 2\pi f(-\omega )</math>
|-
|- style="height:100px"
|Transformada de la conjugada||<math>\mathbb{F}[f^{}(-t)]=F^{}(-\omega )</math>▼
| Cambio de escala
|-
|Translación en el tiempo||<math>\mathbb{F}\left[ f(t-t_{0}at) \right]=\frac{1}{\left| a \right|}F\left(\omega )e^\frac{-j\omega t_}{0}a} \right)</math>
|- style="height:100px"
|-
| Transformada de la Convolución||conjugada▼
▲|Translación en frecuencia||<math>\mathbb{F}[f(t)e^{j\omega _{0}t}]=F(\omega -\omega _{0})</math>
▲|Transformada de la conjugada||<math>\mathbb{F}\left[ f^{}(-t) \right]=F^{}(-\omega )</math>
|-
|- style="height:100px"
|Derivación en el tiempo||<math>\mathbb{F}\left[ \frac{\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}} \right]=\left( j\omega \right)^{n}F(\omega )</math>▼
| Traslación en el tiempo
|-
|Derivación en la frecuencia||<math>\mathbb{F}\left[ \leftf( t-jt \right)^t_{n0}f(t) \right]=\frac{\partial ^{n}F(\omega )}e^{\partial -j\omega ^t_{n0}}</math>
|- style="height:100px"
|-
| Traslación en frecuencia
|Transformada de la integral||<math>\mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{t}{f(\tau )\partial \tau } \right]=\frac{F(\omega )}{j\omega }+\pi F(0)\delta (\omega )</math>▼
▲|Linealidad|| <math>\mathbb{F}\left[ \alpha f(t)+e^{j\betaomega g(_{0}t)} \right]=\alpha F(\omega )+\beta G(-\omega _{0})</math>
|-
|- style="height:100px"
▲|Transformada de la Convolución||
| Derivación en el tiempo
<math>\begin{align}
| & <math>\mathbb{F}\left[ \frac{\partial ^{n}f(t)*g(}{\partial t)^{n}} \right]=\left( j\omega \right)^{n}F(\omega )</math>
|- style="height:100px"
& \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(t-\tau )\partial \tau } \right]=F(\omega )G(\omega ) \\
| Derivación en la frecuencia
\end{align}</math>
| <math>\mathbb{F}\left[ \left( -jt \right)^{n}f(t) \right]=\frac{\partial ^{n}F(\omega )}{\partial \omega ^{n}}</math>
|-
|- style="height:100px"
|Teorema de Parseval||<math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(t) \right|^{2}\partial t=\frac{1}{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| F(\omega ) \right|^{2}\partial \omega }</math>▼
| Transformada de la integral
▲|Derivación en el tiempo||<math>\mathbb{F}\left[ \fracint\limits_{-\partialinfty }^{nt}{f(t\tau )}{\partial t^{n}\tau } \right]=\leftfrac{F( j\omega \right)^}{nj\omega }+\pi F(0)\delta (\omega )</math>
|- style="height:100px"
| Transformada de la Convolución
▲|Transformada de la integral||<math> \mathbb{F}\left[ f(t)*g(t) \right] = \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{t\infty }{f(\tau )g(t-\tau )\partial \tau } \right]=\frac{F(\omega )}{j\omega }+\pi F(0)\delta G(\omega ) </math>
|- style="height:100px"
| Teorema de Parseval
▲|Teorema de Parseval||<math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(t) \right|^{2}\partial t=\frac{1}{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| F(\omega ) \right|^{2}\partial \omega }</math>
|}
 
== Demostraciones: ==
 
== Dualidad ==
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