Curso de Cálculo Integral/Actividad ST3 en clase

Teorema fundamental del cálculo

Concepto

Teorema: Si $F(x)$ es contínua de cualquier antiderivada de f derivable en el intervalo cerrado I, implica que la relación entre la derivada y antiderivada es $F(x)=\int _{a}^{b}f(\tau )d\tau$

Prueba:

Sea f una función real cuyo dominio es el intervalo abierto I, sí $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ y $G(x)=\int _{a}^{x}f(\tau )d\tau$ entonces $G(x)=F(x)+C$ tambien lo es.

Despejando a la constante $C$

$G(x)-F(x)=C$

$\int _{a}^{x}f(\tau )d\tau -F(x)=C$

Evaluando en los dos extremos empezando en el punto cuando $x=a$

$G(a)-F(a)=C$

$\int _{a}^{a}f(\tau )d\tau -F(a)=C$

$0-F(a)=C$

Ahora evaluamos la ecuación en el punto $x=b$

$G(b)-F(b)=C$

$\int _{a}^{b}f(\tau )d\tau -F(b)=C=-F(a)$

$\int _{a}^{b}f(\tau )d\tau =F(b)-F(a)$

Ejemplo:

$\int _{2}^{4}xdx={x^{2} \over 2}|_{1}^{4}={4^{2} \over 2}-{2^{2} \over 2}=2^{2}{{(4-1)} \over 2}=2(3)=6$

Ejemplo2:

Teorema ${dF(x) \over {dx}}=f(x)={d{\int _{a}^{x}f(\tau )d\tau } \over dx}=f(x)$

prueba:

${dF(x) \over {dx}}=f(x)={d{\int _{a}^{x}f(\tau )d\tau } \over dx}={d({F(x)-F(a))} \over {dx}}=f(x)+0=f(x)$

Generalización del teorema fundamental del cálculo

Teorema: Si $F(x)$ es contínua de cualquier antiderivada de f derivable en el intervalo abierto I, implica que la relación entre la derivada y antiderivada es  

$F(x)=\int _{g(x)}^{h(x)}f(\tau ,x)d\tau$

$d{{F(x)} \over dx}=f(h(x),x){d{h(x)} \over {dx}}-f(g(x),x){d{g(x)} \over {dx}}+\int _{g(x)}^{h(x)}{\frac {\partial f(\tau ,x)}{\partial x}}d\tau$

Prueba:

${\frac {dF(x)}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}\,\,{\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}$

$F(x+\Delta x)-F(x)=\int _{g+\Delta g}^{h+\Delta h}f(\tau ,x+\Delta x)d\tau -\int _{g}^{h}f(\tau ,x)d\tau$

$F(x+\Delta x)-F(x)=(\int _{g+\Delta g}^{g}+\int _{g}^{h}+\int _{h}^{h+\Delta h})f(\tau ,x+\Delta x)d\tau -\int _{g}^{h}f(\tau ,x)d\tau$

$F(x+\Delta x)-F(x)=(\int _{h}^{h+\Delta h})-\int _{g}^{g+\Delta g})f(\tau ,x+\Delta x)d\tau +\int _{g}^{h}[f(\tau ,x+\Delta x)-f(\tau ,x)]d\tau$

$\lim _{\Delta g\to 0}\,\,\int _{g}^{g+\Delta g}f(\tau ,x+\Delta x)d\tau =\lim _{\Delta g\to 0}\,\,F(g+\Delta g,x+\Delta x)-F(g,x+\Delta x)$

$\lim _{\Delta g\to 0}\,\,\int _{g}^{g+\Delta g}f(\tau ,x+\Delta x)d\tau =\lim _{\Delta g\to 0}\,\,{\frac {\partial F}{\partial g}}|_{g}\Delta g={\frac {\partial F}{\partial g}}|_{g}\partial g=f(g,x)\partial g$

$\lim _{\Delta x\to 0}\,\,[f(\tau ,x+\Delta x)-f(\tau ,x)]=\lim _{\Delta x\to 0}\,\,{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\Delta x$

$d{{F(x)} \over dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\,\,{\frac {1}{\Delta x}}[(f(h,x)\Delta h-f(g,x)\Delta g)+\int _{g}^{h}{\frac {\partial F}{\partial x}}\Delta xd\tau ]$

Obtenemos la llamada fórmula de Leibniz

$d{{F(x)} \over dx}=f(h,x)D_{x}h-f(g,x)D_{x}g+\int _{g}^{h}{\frac {\partial F}{\partial x}}d\tau$

Ejemplo:

$D_{x}\int _{x^{2}+2}^{x^{3}+3}xsen(\tau )d\tau =xsen(x^{3}+3)3x^{2}-xsen(x^{2}+2)2x+\int _{x^{2}+2}^{x^{3}+3}sen(\tau )d\tau$

$D_{x}\int _{x^{2}+2}^{x^{3}+3}xsen(\tau )d\tau =3x^{3}sen(x^{3}+3)-2x^{2}sen(x^{2}+2)-cos(x^{3}+3)+cos(x^{2}+2)$

Confirmo lo aprendido

• Evaluación de la lección 3 RGA1.3

Véase también

• Actividad SHC3: Actividad 3 en clase
• Actividad SHE3: Actividad 3 extraclase

Anexos

Categorías

Proyecto: Curso de Cálculo Integral

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Bibliografía

W., Earl; Swokowski (1988) [1988]. Grepe; P., eds. Cálculo con Geometría Analítica [Cálculo con Geometría Analítica] (2 edición). México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. (publicado el 1989). ISBN 9687270-43-8.