Para poder realizar la integral definida, es necesario saber sumar ya que la operación inversa de la derivada es precisamente la suma de esas divisiones infinitesimales realizadas por las derivadas.
Dado un conjunto de números
[
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
]
{\displaystyle [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}
, los cuales operados mediante el símbolo sigma llamado operador suma, desde el límite inferior de índice o variable k al límite gaaa
superior n del número
a
k
{\displaystyle a_{k}}
, representado simbólicamente
∑
k
n
a
k
{\displaystyle \sum _{k}^{n}a_{k}}
, representan la siguiente sumatoria.
∑
k
n
a
k
=
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
{\displaystyle \sum _{k}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}
las formas más comunes de sumar números son los que se suman de la siguente forma:
1
+
2
+
.
.
.
+
n
{\displaystyle 1+2+...+n}
1
2
+
2
2
+
.
.
.
+
n
2
{\displaystyle 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}
1
3
+
2
3
+
.
.
.
+
n
3
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}
1
k
+
2
k
+
.
.
.
+
n
k
{\displaystyle 1^{k}+2^{k}+...+n^{k}}
Así que usando el binomio de Newton es posible encontrar una formula que determine dichas sumatorias.
(
x
−
1
)
k
=
∑
j
=
0
k
x
k
−
j
(
−
1
)
j
=
(
k
0
)
x
k
(
−
1
)
0
+
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
x
k
−
j
(
−
1
)
j
=
x
k
+
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
x
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle (x-1)^{k}=\sum _{j=0}^{k}x^{k-j}(-1)^{j}={k \choose 0}x^{k}(-1)^{0}+\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}x^{k-j}(-1)^{j}=x^{k}+\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}x^{k-j}(-1)^{j}}
Pasando del lado izquierdo la sumatoria
x
k
−
(
x
−
1
)
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
x
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle x^{k}-(x-1)^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}x^{k-j}(-1)^{j}}
Si se substituyen
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle 0,1,2,...,n}
en x
0
k
−
(
0
−
1
)
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
0
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle 0^{k}-(0-1)^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}0^{k-j}(-1)^{j}}
1
k
−
(
1
−
1
)
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
1
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle 1^{k}-(1-1)^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}1^{k-j}(-1)^{j}}
2
k
−
(
2
−
1
)
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
2
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle 2^{k}-(2-1)^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}2^{k-j}(-1)^{j}}
3
k
−
(
3
−
1
)
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
3
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle 3^{k}-(3-1)^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}3^{k-j}(-1)^{j}}
.
{\displaystyle .}
.
{\displaystyle .}
.
{\displaystyle .}
(
n
−
1
)
k
−
(
n
−
1
−
1
)
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
(
n
−
1
)
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle (n-1)^{k}-(n-1-1)^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}(n-1)^{k-j}(-1)^{j}}
n
k
−
(
n
−
1
)
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
n
k
−
j
(
−
1
)
j
{\displaystyle n^{k}-(n-1)^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}n^{k-j}(-1)^{j}}
Sumando las filas
n
k
=
−
∑
j
=
1
k
(
k
j
)
(
−
1
)
j
S
k
−
j
{\displaystyle n^{k}=-\sum _{j=1}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}S_{k-j}}
Substituyendo
k
{\displaystyle k}
con
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
{\displaystyle 0,1,2,...,}
hasta
k
{\displaystyle k}
n
1
=
−
∑
j
=
1
1
(
1
j
)
(
−
1
)
j
S
1
−
j
=
S
0
{\displaystyle n^{1}=-\sum _{j=1}^{1}{1 \choose j}(-1)^{j}S_{1-j}=S_{0}}
n
2
=
−
∑
j
=
1
k
(
2
j
)
(
−
1
)
j
S
2
−
j
=
−
(
2
1
)
(
−
1
)
S
1
−
(
2
2
)
(
−
1
)
2
S
0
=
2
S
1
−
S
0
{\displaystyle n^{2}=-\sum _{j=1}^{k}{2 \choose j}(-1)^{j}S_{2-j}=-{2 \choose 1}(-1)S_{1}-{2 \choose 2}(-1)^{2}S_{0}=2S_{1}-S_{0}}
Que reescribiendolo en forma matricial quedaría de la siguiente forma
[
n
1
n
2
n
3
⋮
n
k
]
=
[
1
0
0
0
…
0
−
1
2
0
0
…
0
1
−
3
3
0
…
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
−
(
k
k
)
(
−
1
)
k
−
(
k
k
−
1
)
(
−
1
)
k
−
1
−
(
k
k
−
2
)
(
−
1
)
k
−
2
−
(
k
k
−
3
(
−
1
)
k
−
3
)
…
−
(
k
1
)
(
−
1
)
]
[
S
0
S
1
S
2
⋮
S
k
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n^{1}\\n^{2}\\n^{3}\\\vdots \\n^{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&\dots &0\\-1&2&0&0&\dots &0\\1&-3&3&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{k \choose k}(-1)^{k}&-{k \choose {k-1}}(-1)^{k-1}&-{k \choose {k-2}}(-1)^{k-2}&-{k \choose {k-3}(-1)^{k-3}}&\dots &-{k \choose 1}(-1)\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\\vdots \\S_{k-1}\end{bmatrix}}}
Despejando
[
S
0
S
1
S
2
⋮
S
k
−
1
]
=
[
1
0
0
0
…
0
−
1
2
0
0
…
0
1
−
3
3
0
…
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
−
(
k
k
)
(
−
1
)
k
−
(
k
k
−
1
)
(
−
1
)
k
−
1
−
(
k
k
−
2
)
(
−
1
)
k
−
2
−
(
k
k
−
3
(
−
1
)
k
−
3
)
…
−
(
k
1
)
(
−
1
)
]
−
1
[
n
1
n
2
n
3
⋮
n
k
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\\vdots \\S_{k-1}\end{bmatrix}}={{\begin{bmatrix}1&0&0&0&\dots &0\\-1&2&0&0&\dots &0\\1&-3&3&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{k \choose k}(-1)^{k}&-{k \choose {k-1}}(-1)^{k-1}&-{k \choose {k-2}}(-1)^{k-2}&-{k \choose {k-3}(-1)^{k-3}}&\dots &-{k \choose 1}(-1)\end{bmatrix}}~}^{-1}{\begin{bmatrix}n^{1}\\n^{2}\\n^{3}\\\vdots \\n^{k}\end{bmatrix}}}
Sea
i
{\displaystyle i}
la fila y
j
{\displaystyle j}
la columna, por lo que se puede reducir a la siguiente expresión
[
S
0
S
1
S
2
⋮
S
k
−
1
]
=
[
1
0
0
0
…
0
−
1
2
0
0
…
0
1
−
3
3
0
…
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
(
i
j
)
(
−
1
)
i
+
j
(
i
j
)
(
−
1
)
i
+
j
(
i
j
)
(
−
1
)
i
+
j
−
(
i
i
+
j
(
−
1
)
i
+
j
)
…
−
(
k
1
)
(
−
1
)
]
−
1
[
n
1
n
2
n
3
⋮
n
j
+
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\\vdots \\S_{k-1}\end{bmatrix}}={{\begin{bmatrix}1&0&0&0&\dots &0\\-1&2&0&0&\dots &0\\1&-3&3&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{i \choose j}(-1)^{i+j}&{i \choose {j}}(-1)^{i+j}&{i \choose {j}}(-1)^{i+j}&-{i \choose {i+j}(-1)^{i+j}}&\dots &-{k \choose 1}(-1)\end{bmatrix}}~}^{-1}{\begin{bmatrix}n^{1}\\n^{2}\\n^{3}\\\vdots \\n^{j+1}\end{bmatrix}}}
donde
i
=
1
,
.
.
.
,
k
{\displaystyle i=1,...,k}
, y
j
=
0
,
.
.
.
,
k
+
1
{\displaystyle j=0,...,k+1}
Así se puede reducir a lo siguiente
[
S
0
S
1
S
2
⋮
S
k
−
1
]
=
[
(
i
j
)
(
−
1
)
i
,
j
i
+
j
]
−
1
[
n
1
n
2
n
3
⋮
n
j
+
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\\vdots \\S_{k-1}\end{bmatrix}}={{\begin{bmatrix}{i \choose j}(-1)_{i,j}^{i+j}\end{bmatrix}}~}^{-1}{\begin{bmatrix}n^{1}\\n^{2}\\n^{3}\\\vdots \\n^{j+1}\end{bmatrix}}}
donde
i
=
1
,
.
.
.
,
k
{\displaystyle i=1,...,k}
, y
j
=
0
,
.
.
.
,
k
+
1
{\displaystyle j=0,...,k+1}
Ejemplo:
[
S
0
S
1
]
=
[
1
0
−
1
2
]
−
1
[
n
1
n
2
]
=
[
2
2
0
1
2
1
2
]
[
n
n
2
]
=
[
n
n
(
n
+
1
)
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{0}\\S_{1}\end{bmatrix}}={{\begin{bmatrix}1&0\\-1&2\end{bmatrix}}~}^{-1}{\begin{bmatrix}n^{1}\\n^{2}\end{bmatrix}}={{\begin{bmatrix}{2 \over 2}&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}\end{bmatrix}}~}{\begin{bmatrix}n\\n^{2}\end{bmatrix}}={{\begin{bmatrix}n\\{{n(n+1)} \over 2}\end{bmatrix}}~}}
Integral definida numérica de Riemman por la derecha
editar
Definición
Ejemplo en Octave : Puedes crear la siguiente función:
function [s] = riemmand(ff,a,b,n)
f = inline(ff);
dx=(b-a)/n;
s = 0;
for k = 1:n
s = s + f(a+k*dx);
endfor
s = s*dx;
endfunction
Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a
∫
1
5
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{5}xdx}
, con
n
=
7
{\displaystyle n=7}
particiones
>> riemmand('x',1,5,7)
ans = 13.143
— Esta es la integral recursiva numérica del trapecio, la cual representa la suma de Riemman por la derecha
La suma de Riemman por la derecha implica que, k comienza en 1 y no cero como se muestra en la figura
Sumatoria de Riemman por la derecha
— Sumatoria de Riemman por la derecha
Sea
a
<
b
{\displaystyle a<b}
y
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
un valor real positivo. Entonces la suma de Riemman
∑
a
b
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \sum _{a}^{b}f(x)\Delta x}
está definida como:
∑
a
b
f
(
x
)
Δ
x
=
f
(
x
0
)
Δ
x
+
f
(
x
1
)
Δ
x
+
.
.
.
+
f
(
x
n
)
(
b
−
x
n
)
{\displaystyle \sum _{a}^{b}f(x)\Delta x=f(x_{0})\Delta x+f(x_{1})\Delta x+...+f(x_{n})(b-x_{n})}
x
0
=
a
,
x
1
=
a
+
Δ
x
,
x
k
=
a
+
k
Δ
x
{\displaystyle x_{0}=a,x_{1}=a+\Delta x,x_{k}=a+k\Delta x}
x
n
=
b
.
{\displaystyle x_{n}=b.}
entonces
f
(
x
n
)
(
b
−
Δ
x
n
)
=
0
{\displaystyle f(x_{n})(b-\Delta x_{n})=0}
Por la derecha implica
Δ
x
=
b
−
a
n
{\displaystyle \Delta x={{b-a} \over n}}
y
x
k
=
a
+
k
Δ
x
{\displaystyle x_{k}=a+k\Delta x}
con
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle k=1,2,...,n}
Ejemplo:
Sea
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
desde
x
=
a
{\displaystyle x=a}
hasta
x
=
b
{\displaystyle x=b}
Substitullendo
f
(
x
k
)
=
f
(
a
+
k
Δ
x
)
{\displaystyle f(x_{k})=f(a+k\Delta x)}
R
D
e
r
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
f
(
x
k
)
Δ
x
{\displaystyle R_{Der}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x}
R
D
e
r
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
f
(
a
+
k
Δ
x
)
Δ
x
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
(
a
+
k
Δ
x
)
b
−
a
n
{\displaystyle R_{Der}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=1}^{n}f(a+k\Delta x)\Delta x=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=1}^{n}(a+k\Delta x){{b-a} \over n}}
R
D
e
r
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
(
a
+
k
(
b
−
a
n
)
)
b
−
a
n
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
a
(
b
−
a
n
)
+
(
b
−
a
)
2
n
2
k
{\displaystyle R_{Der}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=1}^{n}(a+k({{b-a} \over n})){{b-a} \over n}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=1}^{n}a({{b-a} \over n})+{(b-a)^{2} \over n^{2}}k}
R
D
e
r
=
lim
n
→
∞
a
(
b
−
a
n
)
n
+
(
b
−
a
)
2
n
2
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle R_{Der}=\lim _{n\to \infty }\,\,a({{b-a} \over n})n+{(b-a)^{2} \over n^{2}}{n(n+1) \over 2}}
R
D
e
r
=
lim
n
→
∞
a
(
b
−
a
)
+
(
b
−
a
)
2
2
n
2
+
n
n
2
{\displaystyle R_{Der}=\lim _{n\to \infty }\,\,a(b-a)+{(b-a)^{2} \over 2}{{n^{2}+n} \over n^{2}}}
R
D
e
r
=
lim
n
→
∞
a
(
b
−
a
)
+
(
b
−
a
)
2
2
+
(
b
−
a
)
2
2
n
{\displaystyle R_{Der}=\lim _{n\to \infty }\,\,a(b-a)+{(b-a)^{2} \over 2}+{(b-a)^{2} \over {2n}}}
R
D
e
r
=
(
b
−
a
)
(
a
+
(
b
−
a
)
2
)
=
(
b
−
a
)
(
a
+
b
)
2
=
b
2
2
−
a
2
2
{\displaystyle R_{Der}=(b-a)(a+{(b-a) \over 2})=(b-a){{(a+b)} \over 2}={b^{2} \over 2}-{a^{2} \over 2}}
Integral definida numérica de Riemman por la izquierda
editar
Definición
Ejemplo en Octave : Puedes crear la siguiente función:
function [s] = riemmani(ff,a,b,n)
f = inline(ff);
dx=(b-a)/n;
s = 0;
for k = 0:n-1
s = s + f(a+k*dx);
endfor
s = s*dx;
endfunction
Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a
∫
1
5
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{5}xdx}
, con
n
=
7
{\displaystyle n=7}
particiones
>> riemmand('x',1,5,7)
ans = 13.143
— Esta es la integral recursiva numérica del trapecio, la cual representa la suma de Riemman por la izquierda
La suma de Riemman por la izquierda implica que, k comienza en cero y termina en n-1, como se muestra en la figura
Sumatoria de Riemman por la izquierda
— Sumatoria de Riemman por la izquierda
Sea
a
<
b
{\displaystyle a<b}
y
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
un valor real positivo. Entonces la suma de Riemman
∑
a
b
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \sum _{a}^{b}f(x)\Delta x}
está definida como:
∑
a
b
f
(
x
)
Δ
x
=
f
(
x
0
)
Δ
x
+
f
(
x
1
)
Δ
x
+
.
.
.
+
f
(
x
n
)
(
b
−
x
n
)
{\displaystyle \sum _{a}^{b}f(x)\Delta x=f(x_{0})\Delta x+f(x_{1})\Delta x+...+f(x_{n})(b-x_{n})}
x
0
=
a
,
x
1
=
a
+
Δ
x
,
x
k
=
a
+
k
Δ
x
{\displaystyle x_{0}=a,x_{1}=a+\Delta x,x_{k}=a+k\Delta x}
x
n
=
b
.
{\displaystyle x_{n}=b.}
entonces
f
(
x
n
)
(
b
−
Δ
x
n
)
=
0
{\displaystyle f(x_{n})(b-\Delta x_{n})=0}
Por la izquierda implica
Δ
x
=
b
−
a
n
{\displaystyle \Delta x={{b-a} \over n}}
y
x
k
=
a
+
k
Δ
x
{\displaystyle x_{k}=a+k\Delta x}
con
k
=
0
,
2
,
.
.
.
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,2,...,n-1}
Ejemplo:
Sea
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
desde
x
=
a
{\displaystyle x=a}
hasta
x
=
b
{\displaystyle x=b}
Substitullendo
f
(
x
k
)
=
f
(
a
+
k
Δ
x
)
{\displaystyle f(x_{k})=f(a+k\Delta x)}
R
I
z
q
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
−
1
f
(
x
k
)
Δ
x
{\displaystyle R_{Izq}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\Delta x}
R
I
z
q
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
+
k
(
b
−
a
n
)
(
b
−
a
)
n
{\displaystyle R_{Izq}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=0}^{n-1}(a+k({{b-a} \over n}){{(b-a)} \over n}}
Haciendo un cambio de variable
m
=
k
+
1
{\displaystyle m=k+1}
R
I
z
q
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
−
1
(
a
+
k
(
b
−
a
n
)
)
b
−
a
n
=
lim
n
→
∞
∑
m
=
1
n
a
(
b
−
a
n
)
+
(
b
−
a
)
2
n
2
(
m
−
1
)
{\displaystyle R_{Izq}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=0}^{n-1}(a+k({{b-a} \over n})){{b-a} \over n}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{m=1}^{n}a({{b-a} \over n})+{(b-a)^{2} \over n^{2}}{(m-1)}}
R
I
z
q
=
lim
n
→
∞
a
(
b
−
a
n
)
n
+
(
b
−
a
)
2
n
2
(
−
1
)
n
+
(
b
−
a
)
2
n
2
n
2
+
n
2
{\displaystyle R_{Izq}=\lim _{n\to \infty }\,\,a({{b-a} \over n})n+{(b-a)^{2} \over n^{2}}(-1)n+{(b-a)^{2} \over n^{2}}{{n^{2}+n} \over 2}}
R
I
z
q
=
lim
n
→
∞
a
(
b
−
a
)
+
(
b
−
a
)
2
2
−
(
b
−
a
)
2
2
n
{\displaystyle R_{Izq}=\lim _{n\to \infty }\,\,a(b-a)+{(b-a)^{2} \over 2}-{(b-a)^{2} \over {2n}}}
R
I
z
q
=
(
b
−
a
)
(
a
+
(
b
−
a
)
2
)
=
(
b
−
a
)
(
a
+
b
)
2
=
b
2
2
−
a
2
2
{\displaystyle R_{Izq}=(b-a)(a+{(b-a) \over 2})=(b-a){{(a+b)} \over 2}={b^{2} \over 2}-{a^{2} \over 2}}
Integral definida numérica método de los trapecios
editar
Ejemplo en Octave : Puedes crear la siguiente función:
function [s] = trapecio(ff,a,b,m)
f = inline(ff);
dx=(b-a)/m;
x=a:dx:b;
s = 0;
for k = 1:m
s = s + f(a+(k-1)*dx)+f(a+k*dx);
endfor
s = s*dx/2;
endfunction
Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a
∫
1
5
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{5}xdx}
, con
m
=
7
{\displaystyle m=7}
particiones
>> trapecio('x',1,5,7)
ans = 12
— Esta es la integral recursiva numérica del trapecio, la cual representa la suma de Riemman por la izquierda y derecha
El método de los trapecios consiste en realizar el promedio de la suma derecha e izquierda de Riemman es decir.
R
p
r
o
m
=
R
D
e
r
+
R
I
z
q
2
{\displaystyle R_{prom}={{R_{Der}+R_{Izq}} \over 2}}
Reacondicionamiento de los límites
R
I
z
q
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
−
1
f
(
x
k
)
Δ
x
{\displaystyle R_{Izq}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\Delta x}
Cambiando
k
=
m
−
1
{\displaystyle k=m-1}
R
I
z
q
=
lim
n
→
∞
∑
m
=
1
n
f
(
x
m
−
1
)
Δ
x
{\displaystyle R_{Izq}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{m=1}^{n}f(x_{m-1})\Delta x}
R
D
e
r
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
f
(
x
k
)
Δ
x
{\displaystyle R_{Der}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x}
R
p
r
o
m
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
(
f
(
x
k
−
1
)
+
f
(
x
k
)
)
Δ
x
2
{\displaystyle R_{prom}=\lim _{n\to \infty }\,\,\sum _{k=1}^{n}{(f(x_{k-1})+f(x_{k}))}{{\Delta x} \over 2}}
Puesto que de esta forma cada elemento de la sumatoria se repiten excepto en dos puntos el inicial y el final pues sus límites de las dos sumatorias son diferentes, así que se puede reducir de la siguiente forma, a la cual se le llama la regla del trapecio.
R
p
r
o
m
=
lim
n
→
∞
(
f
(
x
0
)
+
2
∑
k
=
1
n
−
1
(
f
(
x
k
)
)
+
f
(
x
n
)
)
Δ
x
2
{\displaystyle R_{prom}=\lim _{n\to \infty }\,\,(f(x_{0})+2\sum _{k=1}^{n-1}{(f(x_{k}))}+f(x_{n})){{\Delta x} \over 2}}
Ejemplo:
Sea
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
desde
x
=
a
{\displaystyle x=a}
hasta
x
=
b
{\displaystyle x=b}
, es decir
f
(
x
0
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle f(x_{0})=f(a)}
y
f
(
x
n
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(x_{n})=f(b)}
R
p
r
o
m
=
lim
n
→
∞
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
+
2
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
+
k
(
b
−
a
)
n
)
)
(
b
−
a
)
n
2
{\displaystyle R_{prom}=\lim _{n\to \infty }\,\,(f(a)+f(b)+2\sum _{k=1}^{n-1}{(a+k{{(b-a)} \over n})}){{{(b-a)} \over n} \over 2}}
R
p
r
o
m
=
lim
n
→
∞
(
a
+
b
+
2
(
a
(
n
−
1
)
+
(
b
−
a
)
n
n
2
+
n
2
)
)
(
b
−
a
)
n
2
{\displaystyle R_{prom}=\lim _{n\to \infty }\,\,(a+b+2{(a(n-1)+{{(b-a)} \over n}{{n^{2}+n} \over 2})}){{{(b-a)} \over n} \over 2}}
R
p
r
o
m
=
lim
n
→
∞
a
(
b
−
a
)
+
(
b
−
a
)
2
2
+
(
(
a
+
b
)
2
+
a
(
−
1
)
+
(
b
−
a
)
n
n
2
)
(
b
−
a
)
n
{\displaystyle R_{prom}=\lim _{n\to \infty }\,\,a(b-a)+{(b-a)^{2} \over 2}+({{(a+b) \over 2}+a(-1)+{{(b-a)} \over n}{{n} \over 2}}){{(b-a)} \over n}}
R
p
r
o
m
=
(
b
−
a
)
(
a
+
(
b
−
a
)
2
)
=
(
b
−
a
)
(
a
+
b
)
2
=
b
2
2
−
a
2
2
{\displaystyle R_{prom}=(b-a)(a+{(b-a) \over 2})=(b-a){{(a+b)} \over 2}={b^{2} \over 2}-{a^{2} \over 2}}
Integral definida numérica método de Simpson
editar
Ejemplo en Octave : Puedes crear la siguiente función:
function [s] = simpson(ff,a,b,n)
f = inline(ff);
dx=(b-a)/n;
s = f(a);
for k = 1:n
s = s + 4*f(a+(2*k-1)*dx/2)+2*f(a+2*k*dx/2);
endfor
s = s*dx/6;
endfunction
function [s] = simpson2(ff,a,b,n)
f = inline(ff);
dx=(b-a)/n;
s = f(a);
for k = 1:n/2
s = s + 4*f(a+(2*k-1)*dx)+2*f(a+2*k*dx);
endfor
s = s*dx/3;
endfunction
Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a
∫
1
2
1
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{2}{1 \over x}dx}
, con
n
=
10
{\displaystyle n=10}
particiones de numero par
>> simpson('1/x',1,2,10)
ans = 0.70148
>> simpson2('1/x',1,2,10)
ans = 0.70982
— Esta es la integral definida recursiva numérica de Simpson
El método de Simpson, se basa en la aproximación parabólica de tres puntos.
La ecuación de una parábola general es la siguiente
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
Los tres puntos de aproximación son:
(
−
h
,
p
1
)
,
(
0
,
p
2
)
,
(
h
,
p
3
)
{\displaystyle (-h,p_{1}),(0,p_{2}),(h,p_{3})}
El área bajo la curva de esa parábola en el intervalo de
[
−
h
,
h
]
{\displaystyle [-h,h]}
es:
A
=
∫
−
h
h
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
=
a
x
3
3
+
b
x
2
2
+
c
x
|
−
h
h
=
a
h
3
3
+
b
h
2
2
+
c
h
−
[
−
a
h
3
3
+
b
h
2
2
−
c
h
]
=
2
a
h
3
3
+
2
c
h
{\displaystyle A=\int _{-h}^{h}ax^{2}+bx+cdx=a{{x^{3}} \over 3}+b{{x^{2}} \over 2}+cx|_{-h}^{h}=a{{h^{3}} \over 3}+b{{h^{2}} \over 2}+ch-[-a{{h^{3}} \over 3}+b{{h^{2}} \over 2}-ch]=2a{{h^{3}} \over 3}+2ch}
A
=
∫
−
h
h
a
x
2
+
b
x
+
c
d
x
=
h
3
(
2
a
h
2
+
6
c
)
{\displaystyle A=\int _{-h}^{h}ax^{2}+bx+cdx={{h} \over 3}(2ah^{2}+6c)}
Por otro lado si se realiza la evaluación de los tres punto en el eje ye "y"
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
y
1
=
y
(
x
=
−
h
)
=
a
(
−
h
)
2
+
b
(
−
h
)
+
c
=
a
h
2
−
b
h
+
c
{\displaystyle y_{1}=y(x=-h)=a(-h)^{2}+b(-h)+c=ah^{2}-bh+c}
y
2
=
y
(
x
=
0
)
=
a
(
0
)
2
+
b
(
0
)
+
c
=
c
{\displaystyle y_{2}=y(x=0)=a(0)^{2}+b(0)+c=c}
y
3
=
y
(
x
=
h
)
=
a
(
h
)
2
+
b
h
+
c
=
a
h
2
+
b
h
+
c
{\displaystyle y_{3}=y(x=h)=a(h)^{2}+bh+c=ah^{2}+bh+c}
Sumando las tres ecuaciones
y
1
+
y
2
+
y
3
=
2
a
h
2
+
2
c
{\displaystyle y_{1}+y_{2}+y_{3}=2ah^{2}+2c}
Esto tiene una aproximación al resultado de la integral definida del área bajo la curba en el intervalo de 2h. Entonces es facil realizar una equivalencia
y
1
+
4
y
2
+
y
3
=
h
3
(
2
a
h
2
+
6
c
)
=
A
{\displaystyle y_{1}+4y_{2}+y_{3}={{h} \over 3}(2ah^{2}+6c)=A}
Por lo tanto si ahora sumamos de tres en tres los intervalos en la curva, se repetira el primero y el ultimo punto excepto en los extremos de la curva.
Si h es suficientemente pequeña podemos reconstruir la integral definida de forma numérica de la siguiente forma.
Sea
Δ
x
=
(
b
−
a
n
)
{\displaystyle \Delta x=({{b-a} \over {n}})}
, puesto que desde
p
1
{\displaystyle p_{1}}
hasta
p
3
{\displaystyle p_{3}}
son
2
h
{\displaystyle 2h}
en el eje de las equis, es decir
2
h
=
Δ
x
{\displaystyle 2h=\Delta x}
el paso de avance es el doble de h.
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
f
(
x
4
)
+
.
.
.
+
f
(
x
n
−
2
)
+
4
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
)
h
3
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,({f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4})+...+f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}))}{h \over 3}}
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
f
(
x
4
)
+
.
.
.
+
f
(
x
n
−
2
)
+
4
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
)
1
3
Δ
x
2
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,({f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4})+...+f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}))}{1 \over 3}{{\Delta x} \over 2}}
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
f
(
x
4
)
+
.
.
.
+
f
(
x
n
−
2
)
+
4
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
)
Δ
x
6
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,({f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4})+...+f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}))}{{\Delta x} \over 6}}
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
x
0
)
+
4
∑
k
=
1
n
f
(
x
2
k
−
1
)
+
2
∑
k
=
1
n
f
(
x
2
k
)
+
f
(
x
n
)
)
Δ
x
6
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,({f(x_{0})+4\sum _{k=1}^{n}f(x_{2k-1})+2\sum _{k=1}^{n}f(x_{2k})+f(x_{n})}){{\Delta x} \over 6}}
Tambien es posible cambiar el paso de integración es decir que h sea el paso de integración eso implica la mitad de n aunque no es la misma integral tambien es una forma de este método.
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
x
0
)
+
4
∑
k
=
1
n
2
f
(
x
2
k
−
1
)
+
2
∑
k
=
1
n
2
f
(
x
2
k
)
+
f
(
x
n
)
)
Δ
x
3
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,({f(x_{0})+4\sum _{k=1}^{n \over 2}f(x_{2k-1})+2\sum _{k=1}^{n \over 2}f(x_{2k})+f(x_{n})}){{\Delta x} \over 3}}
Ejemplo:
Sea
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
desde
x
=
a
{\displaystyle x=a}
hasta
x
=
b
{\displaystyle x=b}
, es decir
f
(
x
0
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle f(x_{0})=f(a)}
y
f
(
x
n
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(x_{n})=f(b)}
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
a
)
+
4
∑
k
=
1
n
(
a
+
b
−
a
2
n
(
2
k
−
1
)
)
+
2
∑
k
=
1
n
(
a
+
b
−
a
2
n
(
2
k
)
)
+
f
(
b
)
)
b
−
a
6
n
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,({f(a)+4\sum _{k=1}^{n}(a+{{b-a} \over {2n}}(2k-1))+2\sum _{k=1}^{n}(a+{{b-a} \over {2n}}(2k))+f(b)}){{b-a} \over {6n}}}
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
+
4
a
n
−
2
(
b
−
a
)
+
4
(
b
−
a
)
n
n
2
+
n
2
+
2
a
n
+
2
(
b
−
a
)
n
n
2
+
n
2
)
b
−
a
6
n
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,(f(a)+f(b)+4an-2(b-a)+4{{(b-a)} \over n}{{n^{2}+n} \over 2}+2an+2{{(b-a)} \over n}{{n^{2}+n} \over 2}){{b-a} \over {6n}}}
R
=
lim
n
→
∞
4
a
n
b
−
a
6
n
+
2
6
(
b
−
a
)
2
+
2
a
6
(
b
−
a
)
+
(
b
−
a
)
2
6
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,4an{{b-a} \over {6n}}+{2 \over 6}(b-a)^{2}+{2a \over 6}(b-a)+{{(b-a)^{2}} \over 6}}
R
=
(
b
−
a
)
(
2
3
a
+
(
b
−
a
)
3
+
a
3
+
(
b
−
a
)
6
)
=
(
b
−
a
)
(
a
+
(
b
−
a
)
2
)
{\displaystyle R=(b-a)({2 \over 3}a+{{(b-a)} \over 3}+{a \over 3}+{{(b-a)} \over 6})=(b-a)(a+{{(b-a)} \over 2})}
R
=
(
b
−
a
)
(
b
+
a
)
2
=
b
2
2
−
a
2
2
{\displaystyle R=(b-a){{(b+a)} \over 2}={{b^{2}} \over 2}-{{a^{2}} \over 2}}
La segunda forma de integración es
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
a
)
+
4
∑
k
=
1
n
2
(
a
+
b
−
a
n
(
2
k
−
1
)
)
+
2
∑
k
=
1
n
2
(
a
+
b
−
a
n
(
2
k
)
)
+
f
(
b
)
)
b
−
a
3
n
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,({f(a)+4\sum _{k=1}^{n \over 2}(a+{{b-a} \over {n}}(2k-1))+2\sum _{k=1}^{n \over 2}(a+{{b-a} \over {n}}(2k))+f(b)}){{b-a} \over {3n}}}
R
=
lim
n
→
∞
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)
+
4
a
n
2
−
4
(
b
−
a
)
2
+
8
(
b
−
a
)
n
n
2
2
+
n
2
2
+
2
a
n
2
+
4
(
b
−
a
)
n
n
2
2
+
n
2
2
)
b
−
a
3
n
{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\,\,(f(a)+f(b)+4a{n \over 2}-4{(b-a) \over 2}+8{(b-a) \over n}{{{n^{2} \over 2}+{n \over 2}} \over 2}+2a{n \over 2}+4{(b-a) \over n}{{{n^{2} \over 2}+{n \over 2}} \over 2}){{b-a} \over {3n}}}
R
=
2
a
(
b
−
a
)
3
+
(
b
−
a
)
2
3
+
a
(
b
−
a
)
3
+
(
b
−
a
)
2
2
1
3
{\displaystyle R=2a{(b-a) \over 3}+{(b-a)^{2} \over 3}+a{(b-a) \over 3}+{(b-a)^{2} \over 2}{1 \over 3}}
R
=
(
b
−
a
)
(
2
a
3
+
b
−
a
3
+
a
3
+
b
−
a
2
1
3
)
{\displaystyle R=(b-a)({2a \over 3}+{{b-a} \over 3}+{a \over 3}+{{b-a} \over {2}}{1 \over 3})}
R
=
(
b
−
a
)
(
a
+
b
+
a
2
)
=
(
b
−
a
)
(
a
+
b
2
)
=
b
2
2
−
a
2
2
{\displaystyle R=(b-a)(a+{{b+a} \over 2})=(b-a)({{a+b} \over 2})={b^{2} \over 2}-{a^{2} \over 2}}
Integral definida numérica método de progresión geométrica
editar
Ejemplo en Octave : Puedes crear la siguiente función:
function [s] = progresiong(ff,a,b,n)
f = inline(ff);
q=(b/a)^(1/n);
s = 0;
for k = 0:n-1
s = s + f(a*q^k)*q^k;
endfor
s = s*a*(q-1);
endfunction
Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a
∫
1
2
1
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{2}{1 \over x}dx}
, con
n
=
10
{\displaystyle n=10}
particiones geometricas
>> progresiong('1/x',1,2,10)
ans = 0.717738
— Esta es la integral definida recursiva numérica de particiones disttribuidas por la sucesión geométrica
Oscilación de integral: Sobre cualquier intervalo
[
a
,
b
]
,
f
(
x
)
{\displaystyle [a,b],f(x)}
tiene un mínimo acotamiento superior A, y un máximo acotamiento inferior B[ 1] .
Entonces
Δ
y
=
A
−
B
=
a
b
O
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=A-B=_{a}^{b}Of(x)}
que multiplicado por
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
nos calcula el área.
O
π
=
|
Δ
1
x
|
Δ
1
y
+
|
Δ
2
x
|
Δ
2
y
+
.
.
.
+
|
Δ
n
x
|
Δ
n
y
=
∑
k
=
1
n
|
Δ
k
x
|
Δ
k
y
{\displaystyle O_{\pi }=|\Delta _{1}x|\Delta _{1}y+|\Delta _{2}x|\Delta _{2}y+...+|\Delta _{n}x|\Delta _{n}y=\sum _{k=1}^{n}|\Delta _{k}x|\Delta _{k}y}
Este forma de expresar la integral definida numérica nos permite cambiar las particiones homogeneas a cualquier otro tipo de particiones en este caso a particiones con progresión geométrica.
Sea
q
=
(
b
a
)
1
n
{\displaystyle q=({b \over a})^{1 \over n}}
despejando
(
b
a
)
=
q
n
{\displaystyle ({b \over a})=q^{n}}
Δ
1
x
=
a
q
−
a
{\displaystyle \Delta _{1}x=aq-a}
,
Δ
2
x
=
a
q
2
−
a
q
{\displaystyle \Delta _{2}x=aq^{2}-aq}
, ...,
Δ
n
x
=
a
q
n
−
a
q
n
−
1
{\displaystyle \Delta _{n}x=aq^{n}-aq^{n-1}}
Con
x
1
=
a
{\displaystyle x_{1}=a}
,
x
2
=
a
q
{\displaystyle x_{2}=aq}
, ...,
x
n
=
a
q
n
−
1
{\displaystyle x_{n}=aq^{n-1}}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
q
→
1
a
(
q
−
1
)
[
f
(
a
)
+
q
f
(
a
q
)
+
.
.
.
+
q
n
−
1
f
(
a
q
n
−
1
)
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{q\to 1}\,\,a(q-1)[f(a)+qf(aq)+...+q^{n-1}f(aq^{n-1})]}
Lo cual nos entregaría el método
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
q
→
1
a
(
q
−
1
)
∑
k
=
0
n
−
1
q
k
f
(
a
q
k
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{q\to 1}\,\,a(q-1)\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}f(aq^{k})}
Ejemplo:
Sea
f
(
x
)
=
x
m
{\displaystyle f(x)=x^{m}}
desde
x
=
a
{\displaystyle x=a}
hasta
x
=
b
{\displaystyle x=b}
∫
a
b
x
m
d
x
=
lim
q
→
1
a
(
q
−
1
)
∑
k
=
0
n
−
1
q
k
(
a
q
k
)
m
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=\lim _{q\to 1}\,\,a(q-1)\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}(aq^{k})^{m}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
lim
q
→
1
(
q
−
1
)
∑
k
=
0
n
−
1
q
k
(
m
+
1
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=a^{m+1}\lim _{q\to 1}\,\,(q-1)\sum _{k=0}^{n-1}q^{k(m+1)}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
lim
q
→
1
(
q
−
1
)
∑
k
=
0
n
−
1
(
q
(
m
+
1
)
)
k
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=a^{m+1}\lim _{q\to 1}\,\,(q-1)\sum _{k=0}^{n-1}{(q^{(m+1)})}^{k}}
De la serie geométrica sabemos que
∑
k
=
0
n
A
k
=
A
n
+
1
−
1
A
−
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}A^{k}={{A^{n+1}-1} \over {A-1}}}
, substituyendo
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
lim
q
→
1
(
q
−
1
)
(
q
(
m
+
1
)
)
n
−
1
+
1
−
1
q
(
m
+
1
)
−
1
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=a^{m+1}\lim _{q\to 1}\,\,(q-1){{{(q^{(m+1)})}^{n-1+1}-1} \over {q^{(m+1)}-1}}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
lim
q
→
1
(
q
−
1
)
(
q
n
)
m
+
1
−
1
q
(
m
+
1
)
−
1
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=a^{m+1}\lim _{q\to 1}\,\,(q-1){{{(q^{n})}^{m+1}-1} \over {q^{(m+1)}-1}}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
lim
q
→
1
(
(
q
n
)
m
+
1
−
1
)
(
q
−
1
)
q
(
m
+
1
)
−
1
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=a^{m+1}\lim _{q\to 1}\,\,{({(q^{n})}^{m+1}-1)}{{(q-1)} \over {q^{(m+1)}-1}}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
lim
q
→
1
(
(
b
a
)
m
+
1
−
1
)
d
(
q
−
1
)
d
q
d
q
(
m
+
1
)
−
1
d
q
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=a^{m+1}\lim _{q\to 1}\,\,{({({b \over a})}^{m+1}-1)}{{{d(q-1)} \over dq} \over {{dq^{(m+1)}-1} \over {dq}}}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
lim
q
→
1
(
(
b
a
)
m
+
1
−
1
)
1
(
m
+
1
)
q
m
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx=a^{m+1}\lim _{q\to 1}\,\,{({({b \over a})}^{m+1}-1)}{{1} \over {(m+1)q^{m}}}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
a
m
+
1
(
(
b
a
)
m
+
1
−
1
)
m
+
1
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx={{a^{m+1}{({({b \over a})}^{m+1}-1)}} \over {m+1}}}
∫
a
b
x
m
d
x
=
b
m
+
1
−
a
m
+
1
m
+
1
{\displaystyle \int _{a}^{b}x^{m}dx={{b^{m+1}-a^{m+1}} \over {m+1}}}