Curso de Cálculo Integral/Actividad ST2 en clase

Notación de sumatoriasEditar

Para poder realizar la integral definida, es necesario saber sumar ya que la operación inversa de la derivada es precisamente la suma de esas divisiones infinitesimales realizadas por las derivadas.

Notación de sumatoriaEditar

Dado un conjunto de números , los cuales operados mediante el símbolo sigma llamado operador suma, desde el límite inferior de índice o variable k al límite gaaa
superior n del número , representado simbólicamente , representan la siguiente sumatoria.

las formas más comunes de sumar números son los que se suman de la siguente forma:





Así que usando el binomio de Newton es posible encontrar una formula que determine dichas sumatorias.

Pasando del lado izquierdo la sumatoria

Si se substituyen en x

Sumando las filas

Substituyendo con hasta

Que reescribiendolo en forma matricial quedaría de la siguiente forma

Despejando

Sea la fila y la columna, por lo que se puede reducir a la siguiente expresión

donde , y

Así se puede reducir a lo siguiente

donde , y


Ejemplo:

Integral definida numérica de Riemman por la derechaEditar

Definición

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función:

function [s] = riemmand(ff,a,b,n)
  f = inline(ff); 
  dx=(b-a)/n;
  s = 0;
  for k = 1:n
    s = s + f(a+k*dx);
  endfor
  s = s*dx;
endfunction

Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a , con particiones

>> riemmand('x',1,5,7)
ans =  13.143
— Esta es la integral recursiva numérica del trapecio, la cual representa la suma de Riemman por la derecha

La suma de Riemman por la derecha implica que, k comienza en 1 y no cero como se muestra en la figura

Sumatoria de Riemman por la derecha
— Sumatoria de Riemman por la derecha

Sea y un valor real positivo. Entonces la suma de Riemman está definida como:

entonces

Por la derecha implica y con

Ejemplo:

Sea desde hasta

Substitullendo

Integral definida numérica de Riemman por la izquierdaEditar

Definición

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función:

function [s] = riemmani(ff,a,b,n)
  f = inline(ff); 
   dx=(b-a)/n;
  s = 0;
  for k = 0:n-1
    s = s + f(a+k*dx);
  endfor
  s = s*dx;
endfunction

Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a , con particiones

>> riemmand('x',1,5,7)
ans =  13.143
— Esta es la integral recursiva numérica del trapecio, la cual representa la suma de Riemman por la izquierda

La suma de Riemman por la izquierda implica que, k comienza en cero y termina en n-1, como se muestra en la figura

Sumatoria de Riemman por la izquierda
— Sumatoria de Riemman por la izquierda

Sea y un valor real positivo. Entonces la suma de Riemman está definida como:

entonces

Por la izquierda implica y con

Ejemplo:

Sea desde hasta

Substitullendo

Haciendo un cambio de variable

Integral definida numérica método de los trapeciosEditar

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función:

function [s] = trapecio(ff,a,b,m)
  f = inline(ff); 
  dx=(b-a)/m;
  x=a:dx:b; 
  s = 0;
  for k = 1:m
    s = s + f(a+(k-1)*dx)+f(a+k*dx);
  endfor
  s = s*dx/2;
endfunction

Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a , con particiones

>> trapecio('x',1,5,7)
ans =  12
— Esta es la integral recursiva numérica del trapecio, la cual representa la suma de Riemman por la izquierda y derecha

El método de los trapecios consiste en realizar el promedio de la suma derecha e izquierda de Riemman es decir.

Reacondicionamiento de los límites

Cambiando

Puesto que de esta forma cada elemento de la sumatoria se repiten excepto en dos puntos el inicial y el final pues sus límites de las dos sumatorias son diferentes, así que se puede reducir de la siguiente forma, a la cual se le llama la regla del trapecio.

Ejemplo:

Sea desde hasta , es decir y

Integral definida numérica método de SimpsonEditar

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función:

function [s] = simpson(ff,a,b,n)
  f = inline(ff); 
  dx=(b-a)/n; 
  s = f(a);
  for k = 1:n
      s = s + 4*f(a+(2*k-1)*dx/2)+2*f(a+2*k*dx/2);
  endfor
  s = s*dx/6;
endfunction
function [s] = simpson2(ff,a,b,n)
  f = inline(ff); 
  dx=(b-a)/n; 
  s = f(a);
  for k = 1:n/2
      s = s + 4*f(a+(2*k-1)*dx)+2*f(a+2*k*dx);
  endfor
  s = s*dx/3;
endfunction

Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a , con particiones de numero par

>> simpson('1/x',1,2,10)
ans =  0.70148
>> simpson2('1/x',1,2,10)
ans =  0.70982
— Esta es la integral definida recursiva numérica de Simpson

El método de Simpson, se basa en la aproximación parabólica de tres puntos.

La ecuación de una parábola general es la siguiente

Los tres puntos de aproximación son:

El área bajo la curva de esa parábola en el intervalo de es:

Por otro lado si se realiza la evaluación de los tres punto en el eje ye "y"

Sumando las tres ecuaciones

Esto tiene una aproximación al resultado de la integral definida del área bajo la curba en el intervalo de 2h. Entonces es facil realizar una equivalencia

Por lo tanto si ahora sumamos de tres en tres los intervalos en la curva, se repetira el primero y el ultimo punto excepto en los extremos de la curva.

Si h es suficientemente pequeña podemos reconstruir la integral definida de forma numérica de la siguiente forma.

Sea , puesto que desde hasta son en el eje de las equis, es decir el paso de avance es el doble de h.

Tambien es posible cambiar el paso de integración es decir que h sea el paso de integración eso implica la mitad de n aunque no es la misma integral tambien es una forma de este método.

Ejemplo:

Sea desde hasta , es decir y

La segunda forma de integración es

Integral definida numérica método de progresión geométricaEditar

Ejemplo en Octave: Puedes crear la siguiente función:

function [s] = progresiong(ff,a,b,n)
  f = inline(ff); 
  q=(b/a)^(1/n); 
  s = 0;
  for k = 0:n-1
      s = s + f(a*q^k)*q^k;
  endfor
  s = s*a*(q-1);
endfunction

Y en la pantalla de comandos usar esta misma función, para integrar a , con particiones geometricas

>> progresiong('1/x',1,2,10)
ans =  0.717738
— Esta es la integral definida recursiva numérica de particiones disttribuidas por la sucesión geométrica

Oscilación de integral: Sobre cualquier intervalo tiene un mínimo acotamiento superior A, y un máximo acotamiento inferior B[1].

Entonces que multiplicado por nos calcula el área.

Este forma de expresar la integral definida numérica nos permite cambiar las particiones homogeneas a cualquier otro tipo de particiones en este caso a particiones con progresión geométrica.

Sea despejando

, , ...,

Con , , ...,

Lo cual nos entregaría el método

Ejemplo:

Sea desde hasta

De la serie geométrica sabemos que

, substituyendo

Confirmo lo aprendidoEditar

Véase tambiénEditar

AnexosEditar

NotasEditar

ReferenciasEditar

Enlaces externosEditar

CategoríasEditar

Proyecto: Curso de Cálculo Integral
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BibliografíaEditar

W., Earl; Swokowski (1988) [1988]. Grepe; P., eds. Cálculo con Geometría Analítica [Cálculo con Geometría Analítica] (2 edición). México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. (publicado el 1989). ISBN 9687270-43-8. 

  1. V.,, Oswald, N.J. (1874). Introduction to Infinitesimal Analysis; Functions of One Real Variable. Volumen 1. Project Gutenberg LiteraryArchive Foundation.