Cálculo y análisis matemático/Valor absoluto y sus propiedades/Propiedades

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Propiedades editar

La siguiente es una lista de propiedades de la función valor absoluto, algunas contiene una pequeña demostración intuitiva y las demás solo breves comentarios.

No negatividad editar

 

De la propia definición de valor absoluto, se observa que al representar una distancia debe ser obligatoriamente un valor positivo.

Simetría editar

 

El valor absoluto de x es igual al valor absoluto de -x, ya que ambos se encuentran a la misma distancia del 0, pero del lado opuesto de la recta y por la no negatividad, ambos son positivos.

Propiedad multiplicativa editar

 

El producto de dos valores absolutos es positivo. Ya que la multiplicación de los posibles valores de los factores solo puede cambiar de signo (por la simetría) y que la función valor absoluto termina entregando el valor positivo del número, el multiplicar primero y luego tomar valor absoluto es lo mismo que tomar el valor absoluto de cada factor y después multiplicar. Ambos resultados son positivos.

Definición positiva editar

 

El único número que se encuentra a una distancia en la posición 0 de la recta numérica, es el 0 mismo.

Identidad de indiscernibles editar

 

De la propiedad anterior, el valor absoluto de un número solo es 0, si es el propio 0. En este caso y usando la propiedad anterior se puede desarrollar como:  .

Preservación de la división editar

 

Tomando b como el inverso multiplicativo de cualquier número y usando la propiedad multiplicativa llegamos a esta preservación.