Cálculo y análisis matemático/Valor absoluto y sus propiedades/Desigualdades

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Grado de desarrollo: 75%Grado de desarrollo: 75% (a fecha de 10 oct 2012) (a fecha de 10 oct 2012)

Desigualdades editar

Inecuaciones editar

Si tomamos una inecuación que involucre el valor absoluto, tenemos alguna de las dos situaciones siguientes:

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La primera inecuación se cumple cuando tomamos un número a cuyo valor absoluto sea menor o igual a b. Por la propiedad de simetría y sin importar el signo de a, a la derecha de la recta el valor máximo de a es b y del lado izquierdo el valor máximo es -b. Todos los números contenidos entre -b y b cumplen esta propiedad por la misma razón.

En la segunda inecuación tenemos que el valor absoluto de a es mayor o igual a b. Al igual que en el caso anterior, los valores donde se cumple la igualdad son b y -b. Los puntos donde es mayor son:

  • Si a>0 entonces |a|=a y por lo tanto b<a
  • Si a<0 entonces |a|=-a y por lo tanto -a>b, multiplicando por (-1) tenemos a<-b

Como a puede ser cualquier número, se debe cumplir una de las dos condiciones anteriores y se puede decir que se cumple b<a o se cumple a<-b, como dice la inecuación.

Desigualdad del triángulo editar

Es la desigualdad más importante del valor absoluto, ya que se usa en la mayoría de las aplicaciones de esta función donde intervienen desigualdades.

Para cualquiera dos números a y b se cumple:  


Usos de la desigualdad del triángulo editar

 
Cualquier lado de un triángulo es menor a la suma de los otros dos.