Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos' (Wikipedia en español). Una vez dicho esto podemos comenzar definiendo las principales razones trigonométricas que pertenecen a los triángulos rectángulos.

Estas razones son las siguientes;

• Seno: El seno es la razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto del ángulo en cuestión (en este caso alfa = α) con la hipotenusa del triángulo (revisar curso de triángulos rectángulos), esta razón es representada como Sen α y se obtiene de la siguiente división:

$Sen(a)={\cfrac {Cateto\;opuesto}{Hipotenusa}}$

• Coseno: El coseno es la razón trigonométrica que relaciona el cateto contiguo al ángulo α con la hipotenusa, es representado como Cos α y se obtiene mediante la siguiente división:

$Cos(a)={\cfrac {Cateto\;contiguo}{Hipotenusa}}$

• Tangente: La tangente es la razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto al ángulo α con el cateto contiguo a α, es representado como Tan α pero también es común verlo de esta forma Tg α ambas son válidas aunque la segunda está en desuso, se obtiene mediante la siguiente división:

$Tan(a)={\cfrac {Cateto\;opuesto}{Cateto\;contiguo}}$

Conviene aprenderse las principales razones trigonométricas para tener un mejor manejo del mundo de la trigonometría, estos son los valores mencionados:

Signos de todas las razones trigonométricas en una esfera goniométrica

	De 0º a 90º	De 90º a 180º	De 180º a 270º	De 270º a 360º
SEN	+	+	-	-
COS	+	-	-	+
TAN o TG	+	-	+	-

	Radianes	Grados sexagesimales	seno	coseno	tangente
	$0\;$	$0^{o}\,$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0\,$
	${\frac {1}{6}}\pi$	$30^{o}\,$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$
	${\frac {1}{4}}\pi$	$45^{o}\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$
	${\frac {1}{3}}\pi$	$60^{o}\,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
	${\frac {1}{2}}\pi$	$90^{o}\,$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\nexists (\pm \infty )\,\!$

Práctica 1; Problemas trigonométricos:

El piloto de un avión observa una torre con un ángulo de 30 º, 4km más adelante la vuelve a divisar, pero esta vez con un ángulo de 60 º, halla la altitud del vuelo:

Lo primero es dibujar nuestro sistema:

Luego añadimos los datos:

Lo primero será relacionar los dos triángulos mediante una incógnita en este caso h

Después debemos de observar que para el triangulo de 30º su cateto superior valdrá 4km + y:

$Tan(30)={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}={\cfrac {h}{y+4}}\longrightarrow {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}(y+4)=h\longrightarrow {\cfrac {y}{\sqrt {3}}}+{\cfrac {4}{\sqrt {3}}}=h\longrightarrow {\cfrac {y}{\sqrt {3}}}-h={\cfrac {-4}{\sqrt {3}}}$

$Tan(60)={\sqrt {3}}={\cfrac {h}{y}}\longrightarrow {\sqrt {3}}\,y=h\longrightarrow {\sqrt {3}}\,y-h=0$

Dando lugar a este sistema:

$\left.{\begin{array}{lll}{\cfrac {y}{\sqrt {3}}}&-h&={\cfrac {-4}{\sqrt {3}}}\\{\sqrt {3}}\,y&-h&=0\end{array}}\right\}\longrightarrow \left.{\begin{array}{rrl}y&-{\sqrt {3}}h&=-4\\{\sqrt {3}}\,y&-h&=0\end{array}}\right\}\longrightarrow \left.{\begin{array}{rrl}{\sqrt {3}}\,y&-3\,h&=-4{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\,y&-h&=0\end{array}}\right\}\longrightarrow \left.{\begin{array}{rrl}-{\sqrt {3}}\,y&+3\,h&=4{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\,y&-h&=0\end{array}}\right\}$

Sumando las dos ecuaciones eliminamos y:

${\begin{array}{rrl}-{\sqrt {3}}\,y&+3\,h&=4{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\,y&-h&=0\\\hline &2\,h&=4{\sqrt {3}}\end{array}}$

Operando, tenemos:

$2\,h=4{\sqrt {3}}\longrightarrow h=2{\sqrt {3}}\longrightarrow h=2\cdot 1,732\longrightarrow h=3,464km$

Del mismo modo podemos calcular el valor de y, partiendo de:

${\sqrt {3}}\,y=h\longrightarrow y={\cfrac {h}{\sqrt {3}}}\longrightarrow y={\cfrac {2{\sqrt {3}}}{\sqrt {3}}}\longrightarrow y=2km$

Práctica 2; Problemas trigonométricos:

A continuación resuelve este problema para confirmar que has aprendido el método:

Calcula la profundidad de un pozo de 2m de ancho, si vemos el borde opuesto de fondo del fondo con un ángulo de 30º

El resultado es: