La transformación lineal de intervalos es una aplicación lineal típica con usos variados como proyección de intervalos o planos. Por ejemplo, la transformación que lleva de un formato de video DVD con resolución de 720x570 pixeles a uno VCD con resolución de 352×240.
Transformación lineal del intervalo
[
e
1
,
e
2
]
{\displaystyle [e_{1},e_{2}]}
[
s
1
,
s
2
]
{\displaystyle [s_{1},s_{2}]}
Sea el intervalo de entrada:
E
=
[
e
1
,
e
2
]
{\displaystyle E=[e_{1},e_{2}]\;}
Y el intervalo de salida:
S
=
[
s
1
,
s
2
]
{\displaystyle S=[s_{1},s_{2}]\;}
estos intervalos en
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
T
(
x
)
:
[
e
1
,
e
2
]
→
[
s
1
,
s
2
]
;
∀
x
∈
R
{\displaystyle T(x):[e_{1},e_{2}]\rightarrow [s_{1},s_{2}];\;\forall x\in \mathbb {R} }
esta dada por:
s
1
=
m
e
1
+
b
{\displaystyle s_{1}=me_{1}+b\;}
s
2
=
m
e
2
+
b
{\displaystyle s_{2}=me_{2}+b\;}
donde
m
{\displaystyle m}
b
{\displaystyle b}
T
(
x
)
=
m
x
+
b
;
∀
x
∈
R
{\displaystyle T(x)=mx+b;\quad \forall x\in \mathbb {R} }
Resolviendo para eq(1) y eq(2):
b
=
s
1
−
m
e
1
;
b
=
s
2
−
m
e
2
{\displaystyle b=s_{1}-me_{1};b=s_{2}-me_{2}\;}
s
1
−
m
e
1
=
s
2
−
m
e
2
{\displaystyle s_{1}-me_{1}=s_{2}-me_{2}\;}
s
1
−
s
2
=
m
(
e
1
−
e
2
)
{\displaystyle s_{1}-s_{2}=m(e_{1}-e_{2})\;}
m
=
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
{\displaystyle m={\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}}
Función lineal de transformación sustituyendo
m
{\displaystyle m\quad }
s
1
=
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
e
1
+
b
⇒
b
=
s
1
−
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
e
1
{\displaystyle s_{1}={\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}e_{1}+b\quad \Rightarrow b=s_{1}-{\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}e_{1}}
es decir:
T
(
x
)
=
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
x
+
[
s
1
−
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
e
1
]
{\displaystyle T(x)={\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}x+{\Bigg [}s_{1}-{\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}e_{1}{\Bigg ]}}
simplificando:
T
(
x
)
=
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
(
x
−
e
1
)
+
s
1
{\displaystyle T(x)={\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}\;(x-e_{1})+s_{1}}
Como ejemplo de esta transformación, supongamos que un programador de codecs desea transformar de un formato e video DVD a uno VCD, su problema consiste, entre otras cosas, en proyectar el intervalo horizontal [1,720] a otro intervalos horizontal [1,352]; para ello usa la transformación lineal
T
h
(
x
)
{\displaystyle T_{h}(x)}
e
1
=
1
{\displaystyle e_{1}=1\;}
e
2
=
720
{\displaystyle e_{2}=720\;}
s
1
=
1
{\displaystyle s_{1}=1\;}
s
2
=
352
;
{\displaystyle s_{2}=352\ ;}
Sustituyendo en la expresión:
T
(
x
)
=
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
(
x
−
e
1
)
+
s
1
{\displaystyle T(x)={\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}\;(x-e_{1})+s_{1}}
Obtendremos:
T
h
(
x
)
=
(
1
−
352
)
(
1
−
720
)
(
x
−
1
)
+
1
{\displaystyle T_{h}(x)={\frac {(1-352)}{(1-720)}}\;(x-1)+1}
Simplificando las fracciones tendremos:
T
h
(
x
)
=
351
x
+
368
719
{\displaystyle T_{h}(x)={\frac {351\;x+368}{719}}}
Con lo que para cada x del intervalo [1,720] obtendremos un T(x) correspondiente del intervalo [1,352].
De igual manera para la transformación vertical
T
v
(
x
)
{\displaystyle T_{v}(x)}
e
1
=
1
{\displaystyle e_{1}=1\;}
e
2
=
570
{\displaystyle e_{2}=570\;}
s
1
=
240
{\displaystyle s_{1}=240\;}
s
2
=
1
{\displaystyle s_{2}=1\;}
Partiendo de la relación:
T
(
x
)
=
(
s
1
−
s
2
)
(
e
1
−
e
2
)
(
x
−
e
1
)
+
s
1
{\displaystyle T(x)={\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}\;(x-e_{1})+s_{1}}
y sustituyendo cada término, tendremos:
T
v
(
x
)
=
(
240
−
1
)
(
1
−
570
)
(
x
−
1
)
+
240
{\displaystyle T_{v}(x)={\frac {(240-1)}{(1-570)}}\;(x-1)+240}
Operando la expresión, tendremos:
T
v
(
x
)
=
−
239
x
+
136799
569
{\displaystyle T_{v}(x)={\frac {-239\;x+136799}{569}}}
En este caso para x= 1, tendremos que T(x)= 240.
![{\displaystyle [e_{1},e_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24ae3d1cbbfe2c9360e997034cb5d796da43b3e)
![{\displaystyle [s_{1},s_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8fca3c95bdf474e9ff57f8c11496d4d3432e3b)
![{\displaystyle E=[e_{1},e_{2}]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0923d57db9ef13ce1cbafb2be41f4224bb03f5e6)
![{\displaystyle S=[s_{1},s_{2}]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9ac0e9bf796c4866246bd321e1eba9fe572431)
![{\displaystyle T(x):[e_{1},e_{2}]\rightarrow [s_{1},s_{2}];\;\forall x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e678996638e5cc75b7975d352a19f6656b7f65)
![{\displaystyle T(x)={\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}x+{\Bigg [}s_{1}-{\frac {(s_{1}-s_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}e_{1}{\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7441bc9d22542ebb3a8579843a91621b5d8b7f88)
