Relatividad Especial

La relatividad especial fue propuesta en el año de 1905 por Einstein. Su teoría es capaz de explicar el comportamiento cinemático de los cuerpos en movimiento, especialmente aquellos cuerpos cuyas velocidades sean cercanas a las de la luz. La teoría también permite describir la dinámica de los campos eléctrico y magnético alrededor de cuerpos en movimiento.

Esta teoría es bien conocida por romper con los esquemas tradicionales de espacio y tiempo concebidos dentro de nuestra experiencia diaria. En la relatividad especial, tanto espacio como tiempo están interrelacionados en una única entidad llamada espacio-tiempo (espacio de Minkowski), en la cual los famosos viajes en el tiempo son posibles.

Orígenes

En las décadas anteriores a la formulación de la teoría de la relatividad especial, la comunidad científica se encontraba en un grave aprieto. Dos de las ramas principales de la física de ese entonces, las electrodinámica (propuesta por Maxwell) y la mecánica (propuesta por Newton) parecian ser contradictorias con respecto a los sistemas de referencia con respecto a los cuales se hacian las medidas.

Dentro de la mecánica existía entonces un principio conocido como el principio de relatividad galileano, el cual dice que:

"Dentro de un espacio en reposo, todas las leyes de la mecánica son las mismas que se tendrían si el espacio estuviese moviéndose en línea recta uniformemente"

Así, no existe entonces un sistema de referencia "absoluto" o "natural" con respecto al cual realizar las mediciones experimentales. Todos los sistemas de referencia pueden resultar igualmente válidos, ya que las leyes de la mecánica se aplican de la misma forma para todos los sistemas posibles. En 1584 el filósofo Giordano Bruno lo describió así:

Todas las cosas que hay sobre la tierra se mueven con la tierra. Una piedra lanzada desde lo alto del mástil volverá al final de alguna manera, aunque la nave se esté moviendo.

Sin embargo en la electrodinámica la situación era bastante diferente, ya que se observaba que sí pareciese existir un sistema de referencia absoluto con respecto al cual realizar mediciones. En especial, se observaba que la luz parecía moverse a una única velocidad con respecto a este sistema absoluto.

Para resolver el problema existían entonces 3 únicas posibilidades:

1. Existe un principio de relatividad para la mecánica pero no para la electrodinámica, en la cual sí existe un sistema de referencia preferido al cual llamaremos éter.

2. Existe un principio de relatividad tanto para la electrodinámica como para la mecánica, pero las ecuaciones que rigen la electrodinamica están mal y deben ser corregidas.

3. Existe un principio de relatividad tanto para la electrodinámica como para la mecánica, pero las ecuaciones que rigen la mecánica están mal, y deben ser corregidas.

A partir del desarrollo de estas 3 opciones surgieron muchas teorías que se basaban en alguna de las opciones anteriores. Resultó sin embargo que la opción correcta era la 3, es decir, las leyes de la mecánica propuestas por Newton están mal. Debe entonces encontrarse una reformulación correcta de la mecánica clásica, dando lugar así a un principio de relatividad que se aplique a toda la física conocida (incluyendo ambas, mecánica y electrodinámica). Éste fue el nacimiento de la teoría de la relatividad especial.

La Teoría

Para desarrollar su teoría Einstein se basó en 2 postulados clave:

1.Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales. No existe un sistema preferencial (Principio de la relatividad)

2.La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor c para todos los sistemas inerciales (Principio de la constancia de la velocidad de la luz)

El primer postulado impone la no existencia de sistemas preferenciales a toda la física, no únicamente a la mecánica como el principo de relatividad galileano. Es decir, la medida de cualquier cantidad física sobre un cuerpo (tal como velocidad, posición, e incluso masa) se hace con referencia al sistema en el cual se esta midiendo, el cual es escogido arbitrariamente (un sistema de referencia usual es, por ejemplo, el laboratorio) y es relativa el sistema de referencia mismo. Estas mismas medidas realizadas sobre el mismo cuerpo, pero a partir de un segundo sistema de referencia, podrían, por ejemplo, resultar diferentes a las obtenidas al medir en el primer sistema. Sin embargo la forma en la que estas cantidades se relacionan (a traves de las leyes de la física) deberá permanecer siempre válido en cualquier sistema de referencia que tomemos.

El segundo postulado impone la constancia de la velocidad de la luz y debe su forma a la observación experimental obtenida a partir del experimento de Michelson-Moorley cuyos resultados contradijeron la existencia del "éter" antes mencionado y dieron pie al desarrollo de la teoría especial de la relatividad.

Formulación Matemática - Transformaciones de Lorentz

Einstein dedujo, a partir de sus postulados, un conjunto de transformaciones que relacionan las mediciones en posición y tiempo de un sistema de referencia S y otro sistema de referencia S'. Imaginaremos al sistema S' moviéndose con una velocidad constante v hacia la derecha del sistema S en la dirección del eje x positivo. Los orígenes de estos dos sistemas coinciden en un tiempo t=t'=0.

Supongamos estos dos sistemas de coordenadas en movimiento relativo uno con respecto al otro, supongamos también que medimos en el sistema S la posición y el tiempo que tarda en ocurrir un evento P específico, asignamos entonces a este evento las coordenadas espacio-temporales $(x,y,z,t)\in {\mathcal {R}}$.

De la misma forma realizamos la medición de la posición y el tiempo del mismo evento P, pero esta vez medimos con respecto al sistema de coordenadas S', asignamos entonces a este evento las coordenadas $(x',y',z',t')\in {\mathcal {R}}$ en S'.

Las siguientes son conocidas como las ecuaciones de Lorentz (de hecho fue Lorentz quien las dedujo primero, sin embargo no les dio la interpretación correcta dentro de su teoría)

$x'=\gamma (x-vt)$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2}}}x)$

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Toda la teoría de la relatividad especial se puede derivar utilizando únicamente las ecuaciones de Lorentz, estas ecuaciones nos permiten encontrar las medidas en el sistema S' si conocemos las medidas realizadas en el sistema S. Las transformaciones opuestas (obtener las medidas en el sistema S si conocemos las medidas en el sistema S') se pueden obtener directamente de las ecuaciones de Lorentz reemplazando en todas $v\longrightarrow -v$. A partir de estas ecuaciones se pueden desarrollar casos específicos, los cuales, aunque más contingentes, resultan más ilustrativos.

Es importante advertir la presencia del factor $\gamma$ dentro de las ecuaciones. Este factor caracteriza la relatividad especial y resulta fundamental para comprender la relevancia de los efectos relativistas. Notemos que:

Si v es mucho menor que c entonces $\gamma \approx 1$

Si v es cercano a c entonces $\gamma \longrightarrow \infty$

Así, siempre se cumple que $\gamma \geq 1$. De modo que las transformaciones de Lorentz (y en general toda la mecánica relativista) son aplicables de forma práctica solamente si las velocidades a considerar son cercanas (por lo menos al 10%) a la velocidad de la luz.

Dilatación Temporal

Notemos el caso $x=0$ en la transformación de Lorentz de t'. Este tiempo se llama el tiempo propio en S' y se escribe

$t_{p}={\frac {t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

De esta ecuación podemos observar algo asombroso. El tiempo en el sistema $S$ y $S'$ no son iguales!!, de hecho el tiempo medido en el sistema S (es decir el sistema en reposo relativo) es simpre mas grande que el tiempo medido en el sistema S'(sistema en movimiento relativo). Este efecto se llama dilatación temporal y es observado por ejemplo por una persona sobre la tierra (sistema S) que compare su reloj con otra persona que realizado un viaje espacial en una nave (sistema S') capaz de viajar a velocidades cercanas a la de la luz $(v\approx c)$ (como se puede apreciar en la ecuación la diferencia etre t y t' solo es considerablemente grande en este margen, ya que para el caso v<<c tenemos ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}\approx 0$).

Notese también que en el caso que el sistema S'no se mueva con respecto al sistema S (v=0), sus tiempos son iguales (t'=t).

Contracción Espacial (de Lorentz)

Supongamos ahora que queremos la longitud de un determinado objeto en ambos sistemas de referencia S (sistema en reposo relativo) y S' (sistema en movimiento relativo) y comparar estas dos cantidades. Con este fin podemos manipular las ecuaciones de Lorentz mostradas arriba para llegar finalmente a una relación entre la longitud observada en S y la longitud observada en S'

$L=L'{\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}/v^{2}}}}}$

De esta ecuación podemos deducir que para un observador en reposo, la longitud L' de una varilla medida por un observador en movimiento(en S') aparece contraída un factor de ${\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}/v^{2}}}}}$ con respecto a lo medido por el observador en movimiento. Para ilustrar este principio consideremos dos observadores, uno fijo en la tierra y otro viajando en una nave espacial de longitud (medida con la nave en reposo) L', usando el observador en la tierra vea la nave espacial moverse frente a él, observara que tiene una longitud L menor a la medida cuando la nave estaba en reposo (L'). Este efecto se llama la contracción de Lorentz

Relación masa-energía

A partir de las trasnformaciones de Lorentz enunciadas arriba es posible desarrollar un análogo relativista a toda la mecánica Newtoniana, siendo la mecánica relativista una generalización de la mecánica Newtoniana. Sin embargo bajo este nuevo enfoque si aparecen conceptos nuevos, intrínsecos a la teoría misma y que no están presentes en la mecánica Newtoniana. Uno de ellos es el concepto de energía en reposo $E_{0}$, un tipo de energía que esta asociada únicamente a la masa de un objeto, y es independiente de la velocidad de la misma.

Esta relación se conoce como la relación de equivalencia masa-energía y se escribe

$E_{0}=mc^{2}$

Esta relación nos dice que una cantidad pequeña de masa contiene una cantidad gigantesca de energía. Siendo así la masa una forma condensada de energía.

Así, resulta posible convertir una cantidad determinada de masa en energía pura, o una cantidad determinada de energía en masa.

Si se quiere considerar la energía total E de un cuerpo debe entonces utilizarse la expresión para la energía total, también derivada por Einstein y la forma generalizada de la expresión anterior.

$E=\gamma mc^{2}$

Donde el valor de $\gamma$ es el mismo que aparece arriba.

Véase también

Espacio - Movimiento - Materia y Relatividad del Tiempo