ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1520 04

ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:flexion de una viga bajo su propio peso

Integrantes

Felipe Uribe Villegas, Estudiante Ingeniería Mecánica
Juan Pablo Jaramillo, Estudiante Ingeniería Mecánica
Mateo Muñoz Dominguez, Estudiante Ingeniería Mecánica

Resumen

Una columna delgada uniforme de longitud L colocada verticalmente con un extremo insertado en el suelo, se curva desde su eje vertical bajo la influencia de su propio peso cuando su longitud o altura excede cierto valor crítico, el programa a diseñar calculara el Angulo de flexión en un punto p después de que la columna tiene cierta altura.

Modulo elástico del material.
Densidad del material.
Momento de inercia de la sección transversal.
Altura de la columna.

Introducción

Las columnas son unas de las estructuras mas comunes en construcciones civiles y mecánicas, con el programa desarrollado se puede calcular que tan altas pueden ser antes de empezar a flectarse o cuanto se flectan a medida que se aumenta la altura, todos estos parámetros mencionados anteriormente son determinados por las propiedades de la columna, es decir el material en que esta construida, la altura y la sección transversal que esta defina, ya que de estos depende la elasticidad, la densidad y el momento de inercia que se deben tener presentes para hacer los cálculos.

El problema esta modelado por una ecuación diferencial de segundo orden que se resolverá por medio de la herramientas aprendidas en clase de programación.

Marco teórico

Se puede demostrar que la deflexión angular θ(x) de la columna desde la vertical en un punto P(x) es una solución de un problema de ecuaciones diferenciales con valores en la frontera proveniente de la fórmula de la carga critica Euler ${\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}={\frac {NL}{EI}}$ con algunas modificaciones donde la carga pasa a ser el peso propio de la columna en función de la longitud.

La ecuación diferencial que modela el problema es:

${\frac {E.Ld^{2}\theta }{dx^{2}}}+\delta (L-x)=0$

Donde:

I= inercia de la sección transversal de la columna

E= módulo elástico del material

L= longitud de la columna

X= distancia medida desde la base

ĝ= densidad del material

E.I/L Modela la rigidez flexional «relación entre el momento flector aplicado y el Angulo que gira al deformarse»

Se tendrán momentos de inercia para diferentes secciones transversales conocidas.

En caso de una sección transversal desconocida se podrá aplicar la siguiente integral.

$\sum _{0}^{i}m_{i}.r_{i}^{2}=\int _{m}^{i}r^{2}dm=\int _{a}^{b}p.r^{2}dv$

Diseño de la solución

En la solución de este problema se usaran las herramientas aprendidas en clase de programación en matlab, las más significativas son la solución de ecuaciones diferenciales y el uso de matemática simbólica, igualmente se hará uso de otras herramientas como ciclos y condicionales, por último se complementara con varias interfaces gráficas para hacer el programa más amigable con el usuario. Se busca hacer un programa didáctico donde se puedan evaluar muchos tipos de columnas de sección transversal uniforme, donde se pueda variar el momento de inercia y el material en que estará construida la columna, pues estos son los parámetros variables dentro de la ecuación a estudiar.

Cronograma

Descripción del software

el software cuenta con una cantidad de interfaces gráficas ya que hace necesario una interfaz diferente para cada una de las secciones transversales posibles que pueda tener la columna evaluada, la primera interfaz pide el material y el tipo seccion transversal de la columna, con estos datos se busca internamente las propiedades mecanicas del material que han sido guardadas previamente y se pasa a un segundo interfaz donde piden los datos de la figura geometrica representada por la sección transversal seleccionada anteriormente, por ultimo se muestra una trabla que ilustra la altura de la columna vs el angulo de deformacion en ese punto, y una grafica que muestra la columna flectada.

Manual de uso:

seleccione el material y el tipo de sección transversal de la columna.
entre los datos pedidos para la sección transversal seleccionada y la altura de la columna ( todo los datos en metros) y presione el botón que describa la función que se desea ejecutar.

Resultados

los resultados que arroja el software son una tabla que muestra la deformación angular de la columna para cada punto a lo largo de su altura y una grafica que ilustra la columna flectada.

Conclusiones y trabajo futuro

en una columna de longitud l el peso de la columna puesto en función de la densidad puede hacer que esta se flecte.

se espera que el programa realizado pueda usarse para la construcción de una columna real y deje de ser un modelo teórico para pasar a ser verdaderamente útil, pues este podría implementarse en gran cantidad de obras principalmente civiles.