ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1510 03

Autores

• Dionisio Andrés Arango Rojas ing Mecánica
• Carlos Mario Acevedo Díaz ing Mecánica
• Victor Villalba ing Mecánica

Resumen

En esta plataforma se pretende desarrollar un análisis de conduccion de calor atraves de una placa usando ecuaciones parabolicas aproximandolas por medio de diferencias finitas, por medio de dos método; ademas se ilustra el análisis pertinente para desarrollar un programa que realice estos cálculos.

Abstract

On this platform explains how to develop a temperature problem with transient finite difference type using three methods, also it illustrates the relevant analysis to develop a program to perform these calculations.

Palabras Claves

Diferencias finitas, transferencia de calor, matlab.

Introducción

Se quiere analizar como la conduccion de calor atraves de un cuerpo varia con el tiempo, estas variaciones se dan en las direcciones ‘x’, ‘y’ y t que es la que indica la variación del tiempo. El software modelará las ecuaciones parabólicas, las cuales se emplean para caracterizar estos problemas que varían con el tiempo. Se ilustrara como se trabaja de manera bidimensional según los dos métodos posibles (explicito, IDA).

Modelo de Calculo

Todo el modelo de calculo utilizado fue tomado de Steven C. chapra, Raymond P. Canale, Métodos numéricos para ingenieros , trabajaremos el análisis con la ecuación de conducción de calor para dos dimensiones, lo que se hace es solucionar esta ecuación por medio de dos métodos (explicito o implícito estándar, Esquema IDA)

$k\left({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}\right)={\frac {\partial T}{\partial t}}$ ecuación de calor

Método explicito

la segunda derivada en el espacio se representa por medio de una diferencia dividida finita centrada:

${\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}={\frac {T_{i+1,j}^{l}-2T_{i,j}^{l}+T_{i-1,j}^{l}}{\Delta x^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}={\frac {T_{i,j+1}^{l+1}-2T_{i,j}^{l+1}+T_{i,j-1}^{l+1}}{\Delta y^{2}}}$

Para la primera derivada en el tiempo se trabaja una diferencia divida finita hacia adelante:

${\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {T_{i,j}^{l+1}-T_{i,j}^{l}}{\Delta t}}$

Reemplazando en la ecuación de calor se obtiene una solucion explicita, sin embargo, este metodo esta limitado por un estricto criterio de estabilidad:

$\Delta t\leq {\frac {1}{8}}{\frac {\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}\right)}{k}}$

para una malla uniforme $(\Delta x=\Delta y)$

k = k'/($\rho *C$)

$\lambda =k\Delta t/\left(\Delta x\right)^{2}$debe de ser menor o igual que 1/4.

Esquema IDA

(implícito de dirección alternante)

proporciona un medio para resolver ecuaciones parabólicas en dos dimensiones usando matrices tridiagonales. para ello cada incremento de tiempo se ejecuta en dos pasos. en el primero la ecuación de calor se aproxima mediante:

${\frac {T_{i,j}^{l+1/2}-T_{i,j}^{l}}{\Delta t/2}}=k\left[{\frac {T_{i+1,j}^{l}-2T_{i,j}^{l}+T_{i-1,j}^{l}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {T_{i,j+1}^{l+1/2}-2T_{i,j}^{l+1/2}+T_{i,j-1}^{l+1/2}}{\Delta y^{2}}}\right]$

en el caso de una malla cuadrada, esta ecuación se expresa:

$-\lambda T_{i,j-1}^{l+1/2}+2\left(1+\lambda \right)T_{i,j}^{l+1/2}-\lambda T_{i,j+1}^{l+1/2}=\lambda T_{i-1,j}^{l}+2\left(1-\lambda \right)T_{i,j}^{l}+\lambda T_{i+1,j}^{l}$

que, cuando se escribe para el sistema, da como resultado un sistema tridiagonal de ecuaciones simultaneas.

en el segundo paso, que va desde $T^{l+1/2}$ hasta $T^{l}$, la ecuacion de calor se aproxima mediante:

${\frac {T_{i,j}^{l+1}-T_{i,j}^{l+1/2}}{\Delta t/2}}=k\left[{\frac {T_{i+1,j}^{l+1}-2T_{i,j}^{l+1}+T_{i-1,j}^{l+1}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {T_{i,j+1}^{l+1/2}-2T_{i,j}^{l+1/2}+T_{i,j-1}^{l+1/2}}{\Delta y^{2}}}\right]$

a diferencia de la aproximación de la ecuación en el paso uno, la aproximación ${\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}$ es ahora implícita. Así , el sesgo introducido por la aproximación en el paso uno se corregirá parcialmente. en el caso de una malla cuadrada, esta ecuación se expresa:

$-\lambda T_{i-1,j}^{l+1}+2\left(1+\lambda \right)T_{i,j}^{l+1}-\lambda T_{i+1,j}^{l+1}=\lambda T_{i,j-1}^{l+1/2}+2\left(1-\lambda \right)T_{i,j}^{l+1/2}+\lambda T_{i,j+1}^{l+1/2}$

de nuevo, cuando se escribe para una malla bidimencional, la ecuación da como resultado un sistema tridiagonal.

Diseño de la solución

para la solución del análisis de flujo de calor se aproximo la ecuación de calor por medio de diferencias finitas. haciendo posible una solución explicita.

En el caso del método implícito de dirección alternante, usado para resolver la disyuntiva de que, cuando se aplica un método implícito directo, la solución de mxn ecuaciones pierde la propiedad de ser tridiagonales. En el análisis se consideraron placas regulares con condiciones de frontera las cuales podrán ser definidas por el usuario.

Descripción del software

en la interfaz el usuario puede elegir en hacer el análisis tanto explícitamente como implícitamente.

Al correr el programa se leerán las condiciones de frontera introducidas, realizara el análisis gráficando la distribucion de calor por el area superficial de la placa.

Esta es la presentacion de la interfaz de inicio

aca se visualiza como se distribuye el calor en la placa

se ingresan datos para metodo explicito

referencias bibliograficas

metodos numericos para ingenieros, Steven C. Chapra. transferencia de calor y masa, Yunua A. Cengel.