ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1420 12

AUTOR

Alejandro Alcaraz Zapata. Estudiante de Ingeniería Mecánica

INTRODUCCIÓN

Para algunos estudiantes de ingeniería, pregrado universitario, se evidencia dificultad en el afianzamiento de conceptos fundamentales para el ejercicio profesional, como lo son los pertinentes al campo de mecánica de materiales.

Con el objetivo principal de fortalecer las competencias de los ingenieros se creará una herramienta que, de manera práctica y sencilla, explique algunos conceptos fundamentales de mecánica de materiales; por medio de representaciones gráficas que diluciden de manera adecuada y llamativa elementos relevantes como fuerzas, objeto en análisis, esfuerzos y consecuencias de los mismos sobre el objeto en análisis y trazo de diagramas de círculo de Mohr.

DISEÑO DE LA SOLUCIÓN

Figura 1. En la imagen se muestra un vistazo del MMGE

La herramienta mencionada refiere a un software con interfaz gráfica, elaborado en Matlab, en conjunto con el siguiente informe de texto que propicia los argumentos del trabajo realizado en la elaboración del software. A continuación se muestran algunas de las acciones que pueden realizar los usuarios empleando el GEMM,(GUÍA ESTUDIANTIL DE MECÁNICA DE MATERIALES):

• Los usuarios podrán ver cómo se calculan los esfuerzos y entender de manera ágil el estado de esfuerzos en un punto.

• Para la primera versión del software se podrá ver el manejo de cargas en diferentes situaciones, en escala macro y micro.

• Se podrá comprender con mayor facilidad el tema de la Transformación de esfuerzo plano como método para la solución de ejercicios al interactuar con la plataforma, basados en este informe de texto.

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Figura 2. En la imagen se encuentran tabulados por día, fecha, semana y mes, cada una de las actividades programadas para cumplir con el objetivo propuesto en el proyecto final de programación.

Con el objetivo principal de hacer una entrega oportuna y de buena calidad del producto terminado, se llevarán a cabo algunas tareas previamente programadas, para estipular un orden que dé cohesión y garantice una solidez en su estructura.

El cronograma permitirá integrar los horarios de trabajo en el proyecto a las actividades semanales que se realizan normalmente en jornadas de estudio.

Entre las actividades se encuentran:

- Estudio de las ecuaciones que gobiernan el problema.

- Programación del Software.

- Incorporación de imágenes.

DEFINICIONES

En el software y durante la lectura del siguiente texto se encontrarán algunas variables, cuyos nombres es preciso definir.

L: es la longitud del elemento en estudio.

R: corresponde al radio del círculo de Mohr.

r: es el radio del elemento en análisis, tratándose de un eje.

P: es la carga aplicada que se ejerce de forma perpendicular a la cara del elemento. El signo determina si el elemento está sometido a tracción o a compresión debido a la acción de dicha fuerza. Las cargas de este tipo generan un esfuerzo normal en el elemento, que está denotado por la letra griega $\sigma$, cuyo subíndice indica la dirección.

T: es el torque que se aplica sobre el elemento. Genera un esfuerzo cortante, que es máximo en la superficie, se denota por la letra griega $\tau$.

Los signos se establecen según el sistema de referencia tomado, en esta caso se escogerán de la siguiente forma:

ESFUERZOS NORMALES:
+ :TRACCIÓN
- :COMPRESIÓN

ESFUERZOS CORTANTES:
+ :ROTACIÓN ANTIHORARIA
- :ROTACIÓN HORARIA

MARCO TEÓRICO

La forma de un elemento y las propiedades del material con el que está hecho, determinan su resistencia a cargas normales y/o cortantes. Es de vital importancia transformar un estado de esfuerzos general a cada situación particular, ya que ésto permitirá la determinación de la selección de un material para determinada aplicación; del mismo modo previene, desde las condiciones de diseño, accidentes producidos por las fallas de un elemento debido a la acción de cargas sobre el mismo.

Existen diversas formas para llevar a cabo un análisis de transformación de esfuerzos; en este caso se explicará para los estudiantes el método del círculo de Mohr, desarrollado por Christian Otto Mohr, para dicho análisis.

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO UTILIZANDO EL MÉTODO DEL CÍRCULO DE MOHR.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO.

En Mecánica de Materiales existe un método alternativo (gráfico), que se basa en consideraciones geométricas sencillas para realizar una transformación de esfuerzos. Mediante el software se definirá el valor θp de θ para el cual los esfuerzos σx' y σy' son respectivamente, máximo y mínimo. Dichos valores del esfuerzo normal son los esfuerzos principales en un punto Q del elemento en estudio, y las caras del elemento definen los planos principales de esfuerzo en ese punto. Se establecerá también, el valor de θs del ángulo de rotación para el cual el esfuerzo cortante es máximo, así como el valor de dicho esfuerzo. Se trazará el círculo de Mohr. Para la comprensión de lo tratado, se requiere de un conocimiento previo de conceptos básicos de Resistencia de Materiales, como el estado de esfuerzo de un punto en un plano, mostrado en la figura 2 (aunque se proporcionan algunas herramientas para recordar conceptos) y las deducciones de las ecuaciones de Transformación, que son:

Figura 3. Estado de esfuerzos en un punto.

(1) $\sigma _{\text{x'}}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}+{\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}cos(2\theta )+\tau _{\text{x,y}}sen(2\theta )$.

(2) $\sigma _{\text{y'}}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}-{\frac {(\sigma _{x}-\sigma _{y})}{2}}cos(2\theta )-\tau _{\text{x,y}}sen(2\theta )$.

(3) $\tau _{\text{x'y'}}=-{\frac {(\sigma _{x}-\sigma _{y})}{2}}sen(2\theta )+\tau _{\text{x,y}}cos(2\theta )$.

El método se fundamenta en el hecho de que las ecuaciones (1) y (3) para la transformación de esfuerzo son las ecuaciones paramétricas de un círculo. Ésto significa que si se escoge un sistema de ejes rectangulares y se grafica un punto M de abscisa σx' y de ordenadas τx'y' para cualquier valor de θ, los puntos así obtenidos estarán situados en un círculo.

DETERMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES: σmax,σmin

Figura 4. En la figura se observa el círculo de Mohr.

Figura 5. En la figura se observa un punto que hace parte de una circunferencia y la ecuación paramétrica de la mísma.

haciendo:

$\sigma _{\text{med}}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}$.

$R={\sqrt[{2}]{\left({\frac {(\sigma _{x}-\sigma _{y})}{2}}\right)^{2}+(\tau _{\text{xy}})^{2}}}$.

Luego de un corto procedimiento matemático utilizando las ecuaciones (1) y (3), y haciendo las sustituciones de R y $\sigma _{\text{med}}$ se puede llegar a :

$(\sigma _{\text{x'}}-\sigma _{\text{med}})^{2}+(\tau _{\text{x'y'}}-0)^{2}=R^{2}$.

Que corresponde a la ecuación paramétrica de un círculo con radio R, con centro en el punto C de abscisa $\sigma _{\text{med}}$ y ordenada 0, como se presenta en la figura 3. Debido a la simetría del círculo con respecto al eje horizontal, se puede obtener el mismo círculo intercambiando la posición de la ordenada y abcisa.

En la figura 4 se muestra una circunferencia y su respectiva ecuación paramétrica, que permite hacer una relación de semejanza con la ecuación que define el círculo de Mohr.

Se obtienen $\sigma _{\text{max}}$ y $\sigma _{\text{min}}$ de la siguiente forma:

$\sigma _{\text{max}},\sigma _{\text{min}}=\sigma _{\text{med}}\pm R$

$\sigma _{\text{max}},\sigma _{\text{min}}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}+{\sqrt[{2}]{\left({\frac {(\sigma _{x}-\sigma _{y})}{2}}\right)^{2}+(\tau _{\text{xy}})^{2}}}$.

Donde:
- $\sigma _{\text{max}}$ es el PUNTO A, el punto más a la derecha del círculo (Mayor valor algebraico de σ)
- $\sigma _{\text{min}}$ es el PUNTO B, el punto más a la izquierda del círculo (Menor valor algebraico de σ)

PROCEDIMIENTO

1. Conocer el estado de esfuerzo en un punto Q ubicado en un plano con una orientación determinada.

2. Convención de signos para el círculo de Mohr:

Esfuerzos normales: positivos (tracción), negativos (compresión)

Esfuerzos cortantes: positivo (rotación horaria), negativo (rotación anti horaria)

3. Definir el estado de esfuerzo en dos caras perpendiculares en el elemento, lo que equivale a dos puntos en el círculo de mohr.

4. Definir una escala de dibujo y traducir los esfuerzos a la escala correspondiente.

5. Ubicar el origen del sistema de coordenadas:

Eje X: esfuerzo normal X’ Eje Y: esfuerzo cortante X’Y’

6. Ubicar puntos X, Y en el plano cartesiano.

7. Unimos X y Y, y en la intersección con el eje X se halla el centro del círculo. (C).

En dicho circulo:

Punto X: Eje X en el elemento. Estado de esfuerzo en la cara lateral derecha del elemento.

Punto Y: Eje Y. Estado de esfuerzo en la cara superior del elemento.

La transformación espacial nos conduce a 3 situaciones diferentes:

i) σa y σb son ambos positivos: DE TRACCIÓN.

$\sigma _{\text{max}}=\sigma _{\text{A}}$

$\sigma _{\text{min}}=\sigma _{\text{Z}}=0$

$\tau _{\text{max}}=R_{\text{AZ}}={\frac {\sigma _{\text{A}}}{2}}$

Donde $R_{\text{AZ}}$ es el radio del círculo delimitado por los puntos A y Z por derecha e izquierda respectivamente.

ii) σa y σb son ambos negativos: DE COMPRESIÓN.

$\sigma _{\text{max}}=\sigma _{\text{Z}}=0$

$\sigma _{\text{min}}=\sigma _{\text{B}}$

$\tau _{\text{max}}=R_{\text{BZ}}=\left|{\frac {\sigma _{B}}{2}}\right|$

Donde $R_{\text{BZ}}$ es el radio del círculo delimitado por los puntos B y Z por izquierda y derecha respectivamente.

iii) σa y σb son de signos contrarios: (σa +) y (σb -)

$\sigma _{\text{max}}=\sigma _{\text{A}}$

$\sigma _{\text{min}}=\sigma _{\text{B}}$

$\tau _{\text{max}}=R_{\text{AB}}={\frac {\sigma _{A}+\sigma _{B}}{2}}$

ECUACIONES PARA CÁLCULOS GEOMÉTRICOS:

$A={\frac {\pi .d^{2}}{4}}$

$I_{0}={\frac {\pi .r^{4}}{4}}$

$J_{0}={\frac {\pi .r^{4}}{2}}$

Donde:
- L: Longitud del elemento en estudio. El valor es ingresado por el usuario.
- r: Radio del elemento en estudio (cuando se trata de un eje). El valor es ingresado por el usuario.

ECUACIONES PARA EL CÁLCULO DE ESTADOS DE ESFUERZO

ESFUERZOS NORMALES: TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA

$\sigma =\pm {\frac {P}{A}}$

ESFUERZOS CORTANTES:

A) TORSIÓN PURA

$\tau ={\frac {T.r}{J_{0}}}$

B) FLEXIÓN PURA

$\tau ={\frac {M_{y}.C}{I_{0}}}=\pm {\frac {(P.L)(r)}{I_{0}}}$

ECUACIONES PARA EL CÁLCULO DE ESFUERZOS PRINCIPALES EN EL PLANO

σa= σ_max= (σ_X+ σ_Y)/2+ √(〖( (σ_X+ σ_Y)/2)〗^2+〖〖 (τ〗_XY)〗^2 )

σb= σ_min= (σ_X+ σ_Y)/2 -√(〖( (σ_X+ σ_Y)/2)〗^2+〖〖 (τ〗_XY)〗^2 )

RESULTADOS

• Se muestran los cálculos de los esfuerzos según el tipo de carga aplicada en un punto del elemento en estudio.

• Se obtienen los esfuerzos principales $\sigma _{\text{max}}$ y $\sigma _{\text{min}}$ .

• Se visualiza la construcción del círculo de Mohr para el ejercicio.

• Se interpreta gráficamente la condición de estado de esfuerzos en un punto muy pequeño situado en el borde del elemento.

• Los resultados permiten hacer comparaciones entre las relaciones de proporción de los parámetros geométricos del elemento en estudio y apreciar bajo qué condiciones el elemento puede soportar mayor esfuerzo.

CONCLUSIONES

• Mediante la interacción con el software, el estudiante comprenderá cómo se relaciona el cálculo de los esfuerzos principales de un elemento en estudio con el método gráfico del circulo de Mohr.

• Se aprende o repasa algunos conceptos "claves" de Mecánica de Materiales.

Referencias

- Texto de Mecánica de Materiales de Beer.

- Cuaderno de notas de clase.

- Christian Otto Mohr

- [1]