ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 09

Integrantes

• Camilo Henao Álvarez, Estudiante Ingeniería Mecánica.
• Andres Palacio Velasquez, Estudiante Ingeniería Mecánica.
• Juan Diego Urzola Aparicio, Estudiante Ingeniería Mecánica.

Resumen

En este trabajo se obtiene por medio del modelo matemático de un sistema mecánico de masa-resorte a oscilación forzada una aproximación al fenómeno de filtración de ondas en un Resonador Helmholtz, lo que da lugar a que por medio de una solución analítica con valores iniciales se determine el comportamiento de la masa en el cuello del RH y la frecuencia de resonancia filtrada.

Introducción

El Resonador Helmholtz (RH) o filtro de cavidad resonante es uno de los muchos silenciadores utilizados hoy en día principalmente con el fin de disminuir la problemática de la contaminación auditiva, esta reducción es posible gracias al filtrado de las ondas sonoras, provocando la reducción de la amplitud de onda inicial debido a que el resonador elimina los picos de resonancia de la misma frecuencia y disminuye los cercanos. El RH es comúnmente utilizado por su bajo costo, área reducida y baja perdida de presión en los sistemas desarrollados para el transporte de gases ademas de la reducción de vibraciones no deseadas, por ejemplo, en los sistemas de ventilación industrial y en el campo automotriz, etc. 

El RH se caracteriza por una cavidad de paredes rígidas de volumen (V) con un cuello de área (S) y longitud de cuello (ɭ). (ver Figura 1).

Figura 1: Geometría del resonador

Marco teórico

A) Física del sistema mecánico de masa-resorte a oscilación forzada análogo al fenómeno del RH, regido por la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

${\frac {md^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {bdx}{dt}}+kx=Fe^{wit}$ (1)

Figura 2: Analogía mecánica de masa - resorte a oscilación forzada

Donde (ver figura 2):

la variable dependiente (x) es la distancia que se desplaza la masa y la variable independiente (t) es el tiempo.

los coeficientes constantes: m, b, k, F, w e i son respectivamente la masa, la resistencia de compresión del resorte, la constante del resorte, la fuerza de la masa y la frecuencia del trabajo y valor numero imaginario.

B) La ecuación diferencial acústica de segundo orden especifica para el análisis del RH es:

${\frac {md^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {Rdx}{dt}}+kx=Sp^{wit}$ (2)

Donde:

la variable dependiente (x) es la distancia que se desplaza hacia afuera la masa del cuello y la variable independiente (t) es el tiempo.

Nota: Se debe especificar que para la relación entre los dos fenómenos sea equivalente la amplitud de onda inicial (p) debe ser(ver figura 1):

1) p >> L (El flujo de gas en el interior del cuello simula un cuerpo o masa)

2) p >> V^1/3 (La presión acústica en el interior del resonador equivale a un resorte o muelle)

3) p >> S^1/2 (la apertura donde se irradia el sonido reproduce la resistencia oscilatoria del muelle haciendo las veces de amortiguador)

los coeficientes constantes de la EDO son:

1) m = Masa del oscilador

$m=PoSL$ (3)

Donde:

Po = Densidad del aire

S = Área sección trasversal del cuello

L = Longitud del cuello

2) k = constante del resorte

$k={Poc^{2}}{\frac {S^{2}}{V}}$ (4)

Donde:

Po = Densidad del aire

S = Área sección trasversal del cuello

c = Velocidad de propagación de la onda (valor pedido para hallar k)

$c={\frac {2PIf}{\sqrt {\frac {s}{VL}}}}$ (5)

Donde:

S = Área sección trasversal del cuello

V = Volumen de la cavidad

L = Longitud del cuello

PI = 3,1416

f = Fuerza de restauración (valor pedido para hallar c)

$f={\frac {1}{2PI}}{\sqrt {\frac {ySP}{PoVL}}}$ (6)

Donde:

y = constante del aire (calor especifico)

Po = Densidad del aire

S = Área sección trasversal del cuello

P = Presión Atmosférica

V = Volumen de la cavidad

L = Longitud del cuello

PI = 3,1416

3) R = Resistencia del oscilador

$R={Poc}{\frac {k^{2}S^{2}}{4PI}}$ (7)

Donde:

c = Velocidad de propagación de la onda

Po = Densidad del aire

k = constante del resorte

S = Área sección trasversal del cuello

PI = 3,1416

4) F = Fuerza de la onda de llegada

$F=Spe^{wit}$ (8)

Donde:

S = Área sección trasversal del cuello

p = Amplitud de onda inicial

w = Frecuencia de la onda inicial

i = Valor numero imaginario

Luego llevando la EDO a la forma estándar encontramos que la frecuencia de resonancia es:

$wo^{2}={\frac {k}{m}}$ (9)

$wo={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ (10)

Diseño de la solución

El programa realizado en Matlab es de acceso flexible debido a que puede ser usado en cualquier computadora ademas de ser un programa ligero y portable el cual se encarga principalmente de encontrar el cambio en la frecuencia de una onda producido por un resonador helmholtz, entregando este un resultado analítico esperado basado en los parámetros requeridos por el diseño del lugar de la ciudad de medellín donde se instalará, considerando esto se pretendió que el ingeniero ingresara la geometría pedida en una interfaz gráfica la cual ademas de hacerle saber la frecuencia de resonancia le brindara un análisis acústico que servirá para realizar cambios en la geometría del resonador siendo el caso de que los resultados no fueron deseados.

Descripción del software

El software desarrollado en Matlab se encarga por medio de una interfaz gráfica de calcular y mostrar un análisis ingenieril del modelado de un resonador helmholtz con una frecuencia de entrada inicial, a su vez el ingeniero podrá ingresar los parámetros geométricos del resonador necesarios con respecto a el lugar donde este se instalara y finalmente podrá analizar los cambios acústicos del resonador ingresado por si se requiere modificar sus parámetros geométricos para lograr obtener un resultado deseado.

Interfaz del programa en Matlab

MANUAL DE USO:

1) Abrir la interfaz de usuario "ModeladoRH.fig".

2) Ingresar los parámetros pedidos en los edit text con base en la geometría del resonador requerido.

3) Pulse el botón "Calcular y Graficar" para obtener la frecuencia de resonancia filtrada y el desplazamiento x de la masa sobre el cuello con su respectiva gráfica .

4) Si el resultado es el esperado cierre el programa pulsando el botón "Salir".

Resultados

los resultados que se obtienen al usar el software con parámetros de un resonador común utilizado en el múltiple de escape de un automóvil son:

Parámetros de entrada:

1) Longitud del cuello (L) = 0.015 m

2) Área de sección transversal del cuello (S) = 0.000050 m^2

3) Volumen de la botella (V) = 0.000009 m^3

4) Frecuencia inicial (w) = 662 Hz

5) Tiempo de entrada (t) = seg

Resultando:

1) Distancia que se desplaza hacia afuera la masa del aire sobre el cuello = -0.1273 m

2) Frecuencia de resonancia filtrada = 55.8495 Hz

3) Gráfica de análisis (tiempo vs distancia recorrida):

Gráfica del ejemplo

Conclusiones y trabajo futuro

Presente acá las conclusiones e ilustre cómo se le podría dar continuidad a su trabajo.

1) Tener una buena referencia característica del flujo que ingresa al resonador, sustenta un correcto diseño y resultados deseados.

2) Dependiendo de la geometría del resonador la frecuencia de resonancia presentara una clara disminución en Hz comparado con la frecuencia de entrada a eliminar, lo que originara el descenso de db y por ende reducción en las vibraciones.

Este trabajo se podría continuar buscando mas incógnitas de interés en el RH pedidas por el usuario por algún motivo que se requiera, siendo un caso propio en el resonador por ejemplo la búsqueda de mas factores acústicos como la impedancia y la reactancia.

Referencias

USNW Music acoustics

http://www.phys.unsw.edu.au/jw/Helmholtz.html

http://www.fceia.unr.edu.ar/fceia1/publicaciones/numero9/articulo1/FiltroAcustico.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm