Programación de Ingeniería Mecánica UPB:Grupo 08

Integrantes

• Luis Bedoya Nuñez,Estudiante de Ingenieria Mecanica.
• Esteban Ramos,Estudiante de Ingenieria Mecanica.

Abstract

The following article will explain the way it can be calculated the flow rate using numerical methods and programming, that generates a sheet placed in descending order. The numerical solution is based on established mathematical models, it has been investigated the main Newtonian fluid equations that describe the system. It has been also implemented two common types of boundary conditions, one condition is parabolic velocity profile and other condition resulting output derived zero speed. The obtained results show high accuracy of the used method . It also will study how to calculate the laminar velocity profiles in some simple geometrically systems. For these calculations is necessary to use the definition of viscosity and the definition of quantity balance using the concepts of numerical methods, specifically finite differences.

Keywords: A sheet flow, Newtonian fluid, numerical solution, laminar, finite differences.

Resumen

En el siguiente artículo se evidencia claramente cómo a partir de métodos numéricos y de programación se puede llegar a calcular la velocidad que genera el flujo de una lámina ubicada de forma descendente. La solución numérica se fundamenta en modelos matemáticos ya establecidos; se han investigado las principales ecuaciones de fluidos newtonianos que describen el sistema. También se han implementado dos tipos comunes de condiciones de frontera una condición de entrada de perfil de velocidad parabólico y otra condición a la salida de derivada nula de la velocidad. Los resultados obtenidos muestran gran exactitud del método utilizado. Además se va a estudiar cómo se pueden calcular los perfiles de velocidad laminar en algunos sistemas geométricamente sencillos. Para estos cálculos se hace uso de la definición de viscosidad y la definición de un balance de cantidad de movimiento empleando los conceptos de métodos numéricos, específicamente el de diferencias finitas. Copyright © 2013 UPB.

Introducción

En muchos flujos de interés, tales como el enfriamiento de dispositivos electrónicos, cámaras de combustión, sistemas de ductos de aire acondicionado y algunos otros sistemas de intercambiadores de calor que se encuentran en la ingeniería, el fenómeno de separación de fluido de la corriente principal, debido a una expansión en la geometría física y el subsecuente punto de reencuentro, ocurre frecuentemente en este tipo de problemas . Las existencia de la separación de flujo y la región de recirculación afectan significativamente el comportamiento de la velocidad en los sistemas, por lo tanto, en la practica de la ingeniería es esencial entender el mecanismo básico de transferencia de velocidad en fluidos separados. (Ing.Mecánica Tecnología y Desarrollo, 2004).

Figura 1.1

Para calcular la velocidad en una lámina en forma descendente con viscosidad variable utilizando iteraciones de diferencias finitas es importante tener en cuenta varios conceptos como el balance de cantidad de movimiento ; las fuerzas de entrada y de salida que actúan sobre el sistema el cual se aplica solamente cuando las líneas de corriente del sistema son rectas, es decir, para el flujo rectilíneo. Otro concepto importante es la viscosidad que está definida como la propiedad física que caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos sencillos.

Por otro lado el flujo laminar que es uno de los dos tipos principales de flujo en fluido. Se llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. Vamos a considerar flujos independientes del tiempo, de manera que todas las derivadas con respecto al tiempo serán cero. Se asume además que el fluido es incomprensible, de esta manera la densidad es constante en el fluido. (C. Calderon, 2011)

Marco teórico

• Balances envolvente de cantidad de movimiento:

Figura 2.2-2

(VELOCIDAD DE ENTRADA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO)-(VELOCIDAD DE SALIDA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO+SUMA DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL SISTEMA)=0 (2.1-1)

• Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en x:

$(LW)(T_{xz})]x$ (2.2-1)

• Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en $x+\Delta x$:

$(LW)(T_{xz})]x+\Delta x$ (2.2-2)

• Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en z = 0

$(W\Delta xV_{z})(\rho V_{z})]z=0$ (2.2-3)

• Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en z = L

$(W\Delta xV_{z})(\rho V_{z})]z=L$ (2.2-4)

• Fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido:

$(LW\Delta x)(\rho g\cos \beta )]z=L$ (2.2-5)

• Substituyendo estos términos en el balance de cantidad de movimiento de la Ec. 2.1—1 se obtiene:

$(LW)(T_{xz})]x-(LW)(T_{xz})]x+\Delta x+(W\Delta xV_{z})(\rho V_{z})]_{z=0}-(W\Delta xV_{z})(\rho V_{z})]_{z=L}+(LW\Delta x)(\rho g\cos \beta )]z=L$ (2.2-6)

• Como vale lo mismo para z = 0 y z = L para cada valor de x, los términos tercero y cuarto se anulan entre si. Dividiendo la Ec. 2.2—6 por y tornando el límite cuando tiende hacia cero:

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(LW)(T_{xz})]x+\Delta x-(LW)(T_{xz})]x}{\Delta x}}=\rho g\cos \beta$ (2.2-7)

• El primer miembro de esta ecuación es por definición la derivada primera de con respecto a x. Por tanto, la Ec. 2.2—7 puede escribirse así:

${\frac {d}{dx}}T_{xz}=\rho g\cos \beta$ (2.2-8)

• Que es la ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento. Al integrarla se obtiene:

$T_{xz}=\rho gx\cos \beta +C1$ (2.2-9)

• La constante de integración puede evaluarse aplicando la condición límite correspondiente a la interfase líquido-gas:

C.L:1 para $x=0T_{xz}=0$ (2.2-10)

• Cuya substitución er la Ec. 2.2—9 conduce a:

$C1=0$

• Por lo tanto, la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento es:

$T_{xz}=\rho gx\cos \beta$ (2.2-11)

• Tal como se indica en la Fig. 2.2—2.Si el fluido es newtoniano, ya sabemos que la densidad de flujo de cantidad de movimiento está relacionada con el gradiente de velocidad mediante la expresión:

$T_{xz}=-\mu {\frac {dV_{z}}{dx}}$ (2.2-12)

• Substituyendo este valor de en la Ec. 22—11 se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la distribución de velocidad

${\frac {dV_{z}}{dx}}=-({\frac {\rho g\cos \beta }{\mu }})x$ (2.2-13)

• Que puede integrarse fácilmente para obtener:

$V_{z}=-({\frac {\rho g\cos \beta }{2\mu }})x+C_{2}$ (2.2-14)

• En nuestro caso como la viscosidad depende de la posición la expresión queda de la forma siguiente:

$\mu =\mu _{0}e^{-\infty ({\frac {x}{b}})}$ (2.2-22)

• En la que es la viscosidad en la superficie de la película, y es una constante que expresa rapidez con que disminuye al aumentar x. Una variación de este tipo tiene lugar en el flujo descendente del condensado en una pared, con un gradiente lineal de temperatura a través de la película. de la Ec. 2.2 II. Substituyendo después la ley de Newton (con la viscosidad variable de la Ec. 2.2 —22) en la Ec. 2.2 II, se obtiene:

$\mu _{0}e^{-\infty ({\frac {x}{b}})}{\frac {dV_{z}}{dx}}=\rho gx\cos \beta$ (2.2-23)

• Esta ecuación diferencial puede integrarse, y evaluar la constante de integración a partir de las condiciones límite de la Ec. 2.2 15 FI perfil de velocidad a que se llega es:

$V_{z}={\frac {\rho gd^{2}\cos \beta }{\mu _{0}}}[e^{x}({\frac {1}{\infty }}-{\frac {1}{\infty ^{2}}})-e^{\infty ({\frac {x}{b}})}({\frac {x}{\infty b}}-{\frac {1}{\infty ^{2}}})]$

• Simulación para el cálculo de la velocidad en un flujo laminar descendente.

Diseño de la solución

Figura 3.3-1

para resolver el problema lo primero que tenemos que tener en cuenta es la clase de fluido en el que estamos trabajando ;para el caso es un fluido no newtoniano (donde la viscocidad no es constante ).el análisis se hace a partir de una lamina de un ancho x y un largo z, ubicada en forma descendente formando un angulo β como se muestra en la figura 3.3-1.

Para encontrar la velocidad en un flujo laminar fue necesario utilizar el método de diferencias finitas, primero se divide la lamina a partir de una malla con un numero de nodos determinados, donde a cada nodo se le aplica el analisis de diferencia finita para aproximar la derivada en ese punto a partir de unas condiciones iniciales donde la velocidad en el eje z es constante.

Descripción del software

Se desarrollo una interfaz para calcular la distribución de la velocidad en en flujo laminar utilizando programación en el software MATLAB,encontramos las velocidades en los nodos del mallado, simulando así como se esta distribuyendo las velocidad en un flujo laminar

interfaz fig 3.3-2

manual de uso

para utilizar el programa solo se debe introducir los valores correspondientes a cada uno de los datos que pide la interfaz, luego simplemente se pulsa el botón calcular. para calcular la velocidad en un punto de la lamina ,se introduce la coordenada (x,z) del nodo que corresponde al punto . para asignar nuevos valores, pulsar el botón borrar;introducir nuevos datos.

la interfaz consta de 2 botones:

• botón calcular : Al darle clic la interfaz muestra el resultado de la distribución de velocidad y la gráfica que se genera a partir de los datos introducidos por el usuario.

• botón borrar : Al oprimirlo se eliminan todos los valores introducidos por el usuario .

El usuario debe ingresar todos los datos que requiere la interfaz para que el programa no presente errores.

Resultados

Distribucion de velocidad

Los resultados obtenidos se pueden evidenciar en la gráfica de distribución de velocidad generada por la interfaz; donde el color rojo representa los puntos de la lamina en los que la velocidad del flujo es máxima . obteniendo así los valores mayores en la parte superior de la lamina. de forma análoga la velocidad varia a lo ancho de la lamina de forma decreciente representada por diferentes colores hasta el color azul que representa los puntos donde la velocidad es mínima.

La interfaz también calcula la velocidad en un punto ingresado por el usuario; para la malla utilizada para la solución del problema la velocidad máxima se encuentra en en nodo (1,1).

Cronograma

figura 3.3-4

• Plantear problema, Manejo de wiki  : Rojo
• Elaboración de programa: Amarillo
• Elaboración de interfaz: Verde
• Trabajo en wiki, Ajustes al proyecto: Cafe
• Entrega de proyecto: azul

.

Conclusiones y trabajo futuro

• En el flujo laminar analizado la distribución de velocidad en el eje z es constante.

• Los puntos donde se percibe velocidad máxima se encuentran en la parte superior de la lamina, debido a que la viscosidad no es constante y varia dependiendo de la posición en x.

• En estos problemas de fluido laminar la viscosidad casi siempre actúa como una fuerza opuesta ala velocidad .

• La interfaz se podría trabajar a futuro para calcular el flujo en fluidos newtonianos en diferentes geometrías a una lamina, como por ejemplo canales y tuberías. de la misma forma también se podría mejorar para calcular la viscosidad a partir de la velocidad .

Bibliografia

• Fenomenos de transporte R.Byron Bird- Warresn E. Stewart-Edwin N.lightfoot.
• Curso de programacion para ingenieros.