ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 01

Integrantes

• Manrique Bedoya Santiago, Estudiante Ing. Mecánica
• Cogollo Alvarez Liseth Carolina , Estudiante Ing. Mecánica

Resumen

Se dispone de un software diseñado en MATLAB el cual fue creado para simplificar los análisis de vigas sencillas para construir diagramas de fuerza cortante y de momento flector a partir de las funciones de singularidad las cuales analizan las vigas de forma discontinua, además con claridad se explica en el contenido del marco teórico la construcción manual de los diagramas, para que el usuario se sienta seguro al usar este programa, las gráficas arrojadas por el programa son por el momento una aproximaciones de los efectos que causan las fuerzas sobre la viga.

Introducción

Fig.1 Flexión teórica de una viga Simplemente apoyada sometida a una carga concentrada F.

Las vigas tienen el papel fundamental de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actúan lateralmente a lo largo de su eje (ver Fig1). Esta condición hace que las vigas estén sometidas a esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por los esfuerzos de flexión . Las fuerzas externas pueden variar de una sección a otra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de soporte y la geometría , genera en el interior de ella misma la aparición de cuatro fuerzas que son la fuerza cortante, la fuerza axial, el momento flector y el momento torsor .

Debido a que las vigas están sometidas a esfuerzos de flexión, los materiales con los que se construyen tiene que soportar esfuerzos de tracción y compresión al mismo tiempo , como ningún material es totalmente rígido, las vigas tienden a doblarse y así la mitad superior se comprime y la mitad inferior se tracciona.

El análisis de Vigas permite conocer las fuerzas internas, la variación a lo largo de esta, mediante la elaboración de diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores con el fin de poder diseñar su dimensionado de manera económica con la condición más crítica de fuerza interna, gracias a estos elementos se pueden construir todo tipo de estructuras, como vigas de puentes, edificaciones, entre otros.

En el presente trabajo se ha creado un software (GUI) llamado “ANALISIS DE VIGA”, que bajo unas condiciones definidas por el usuario se presenta los puntos críticos a lo largo de esta al aplicar una carga, este programa también permite observar el diagrama de fuerza cortante y momento flector.

Las limitaciones presentadas a lo largo del trabajo están en que en la viga no se considera el tipo de material, ya que la finalidad es que el usuario de manera didáctica visualice el comportamiento interno a lo largo de la sección trasversal de la viga.

Planteamiento del problema

La determinación de las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes es un paso esencial en el diseño de cualquier viga, por lo general necesitamos no solo saber los valores máximos de estas cantidades sino también la manera en que estos varían a lo largo del eje.

El presente trabajo pretende analizar los esfuerzos a los que puede estar sometida una viga, teniendo en cuenta sus características principales. Donde el usuario mediante una interfaz pueda ingresar primero el tipo de viga con la cual se desea trabajar ya sea simplemente apoyada o empotrada, segundo las dimensiones que esta posea como la longitud total y la ubicación de los apoyos, tercero el tipo de carga: torque, puntual o distribuidas, finalmente el programa mediante funciones de singularidad mostraría los diagramas de momento flector y esfuerzo cortante.

Cronograma

Se presenta un diagrama que permite visualizar las actividades y fechas en general del desarrollo del proyecto "ANALISIS DE VIGAS".

Marco Teórico

Viga

Se determina el tipo de viga según los apoyos, por ejemplo, una viga que tiene un apoyo con pasador en un extremo y un apoyo de rodillo al otro extremo se denomina viga simplemente apoyada o viga simple, la característica principal del pasador es que no permite la traslación pero si la rotación y el apoyo de rodillo no permite la traslación en sentido vertical pero si en sentido horizontal; la viga que esta fija en un extremo y está libre en el otro extremo se designa como viga en voladizo o empotrada, en donde el soporte que esta empotrado no puede ni trasladarse ni rotarse, mientras que en el extremo libre si puede hacer las dos cosas.

Según el número y tipo de apoyos que soportan la viga, se presentan dos grupos de vigas, las vigas estáticamente indeterminadas y las vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas.

Vigas Isostáticas

En las vigas estáticamente determinadas el número de reacciones en los apoyos es igual al número de ecuaciones de equilibrio disponibles.

Vigas Hiperestáticas

En las vigas estáticamente indeterminadas el número de reacciones de los apoyos es mayor que el número de ecuaciones disponibles. (Ver Fig.2)

Fig.2 a) y c) Vigas Isostáticas b) Viga Hiperestática

Cargas

Una carga estática es una acción sin movimiento de una fuerza o un momento que actúan sobre la viga. Estos poseen una magnitud la cual está dada en Newtons y sus múltiplos, una dirección, un sentido ya sea positivo o negativo y una posición donde se aplique invariablemente.

Cuando una carga se aplica sobre un área muy reducida puede idealizarse como una carga concentrada, en cambio cando una carga se reparte sobre el eje de una viga se representa como una carga distribuida.

Las cargas se han de diferenciar según su distribución en la viga y su dirección.Se denomina puntuales aquellas cargas que solo están actuando en un punto a lo largo de la viga. Las cargas distribuidas son aquellas que actúan en varios puntos de la viga sucesivamente, pueden ser uniformemente distribuidas lo que quiere decir que todas tienen la misma magnitud y las adistribuidas donde la magnitud de las fuerzas va aumentando de una manera uniforme. Los momentos son aquellos que equilibran los efectos de rotación de la viga según las cargas que actúan sobre ella.

Fuerzas cortantes y Momentos flexionantes

Cuando una viga es sometida a una fuerza o par, en el interior de esta se generan unos esfuerzos y deformaciones unitarias, para determinarlos se debe encontrar las fuerzas internas y los pares internos que actúan a lo largo de la sección transversal de la viga. De la estática se conoce que la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal se puede reducir a una fuerza cortante y a un momento flexionante.

La fuerza cortante se produce en dirección perpendicular al eje de la viga esta se define como la sumatoria de la componente perpendicular al eje de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la sección de viga estudiada. El momento flector es una fuerza tipo par, la cual contribuye a equilibrar la rotación del solido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y que produce sobre la viga un efecto de curvatura a lo largo de su eje, así esta se define como la sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la sección estudiada.

Diagrama de Fuerza cortante y de Momento flexionante

La realización de los diagramas de fuerza cortante y momento flector requiere conocer la relación existente entre las cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento flector.

Las relaciones se pueden obtener considerando un elemento de viga cortado entre dos secciones transversales a una distancia entre sí, la carga que actúa sobre la superficie superior del elemento puede ser una carga distribuida, una carga concentrada o un par.Para cada tipo de carga podemos escribir dos ecuaciones de equilibrio para el elemento: una ecuación de equilibrio de fuerzas en dirección vertical y una de equilibrio de momentos, la primera de estas ecuaciones da la relación entre la carga y la fuerza cortante, la segunda, la relación entre la fuerza cortante y el momento flexionante.

Fig.3 Diagrama de Fuerza cortante (V) y de Momento flexionante (M).

Análisis de vigas

Se puede hacer mediante:

1) El diagrama de momento flector y fuerza de corte.

2) Analíticamente: Generando una expresión matemática para un segmento de viga en función de la carga y el tipo de carga.

3) Funciones de singularidad: funciones genéricas adaptables a cualquier condición de carga.

Funciones de singularidad

Estas funciones son apropiadas para representar cargas en vigas, tales como pares, cargas uniformes y cargas variables. Las funciones de singularidad son expresiones simples que representan funciones discontinuas.

$<X-B>^{n}=(X-B)^{n}$.

$<X-B>^{n}=0\rightarrow X<B$.

donde:

• $X$ = eje de coordenadas a lo largo de la viga.

• $B$ = punto donde se encuentra la discontinuidad.

Para determinar la función singular que exprese la carga aplicada, fuerza cortante o momento flector sobre una viga en función de la distancia x al extremo de referencia, se multiplica la adecuada función (ver tabla de funciones singulares) por el valor de la intensidad de la carga. Para todas y cada una de las cargas, momentos y reacciones se reemplaza β por el vector de la distancia entre el extremo de referencia y el punto donde comienza aplicarse la carga.

Tabla de funciones de singularidad

Carga	Función de carga $W=W(x)$	Cortante $V=\int W(x)\,dx$.	Momento $M=\int V(x)\,dx$.
	$W=M_{0}<x-a>^{-2}$	$V=-M_{0}<x-a>^{-1}$	$M=-M_{0}<x-a>^{0}$
	$W=P<x-a>^{-1}$	$V=-P<x-a>^{0}$	$M=-P<x-a>^{1}$
	$W=W_{0}<x-a>^{0}$	$V=-W_{0}<x-a>^{1}$	$M=-{\frac {W_{0}}{2}}<x-a>^{2}$
	$W=m<x-a>^{1}$	$V=-{\frac {m}{2}}<x-a>^{2}$	$M=-{\frac {m}{6}}<x-a>^{3}$

Diseño de la solución

Para la solución del problema se utilizaron las funciones de singularidad, las cuales hacen un análisis de la viga fraccionada, ya que solo se usan para detallar el lugar donde está el punto de aplicación de cada una de las fuerzas a la que está sometida la viga.

Para el análisis se comienza verificando con qué tipo de viga se está trabajando ya que si es apoyada o empotrada las condiciones cambiaran, posteriormente se analizan y verifican todas las características faltantes, como longitud, cargas y momentos, teniendo en cuenta que sus unidades se encuentren en el mismo sistema métrico, asegurando que coincidan de una manera lógica y apropiada.

Con la solución de las ecuaciones singulares se obtendrán los diagramas de cortante y flector, los que muestran cuáles serán los efectos de las reacciones en la viga calculando los esfuerzos.

Según la carga necesaria se utilizaron las siguientes ecuaciones, la cuales arrojaran una curva según las condiciones:

• Carga puntual:

Cortante

$V(x)=-P<x-a>^{o}$.

Momento flector

$M(x)=-P<x-a>^{1}$.

• Momento:

Momento flector

$M(x)=-M_{o}<x-a>^{o}$.

• Carga uniformemente distribuida:

Cortante

$V(x)=-w_{o}<x-a>^{1}$.

Momento flector

$M(x)=-{\frac {1}{2}}w_{o}<x-a>^{2}$.

• Carga adistribuida:

Cortante

$V(x)=-{\frac {k}{2}}<x-a>^{1}$.

Momento flector

$M(x)=-{\frac {k}{2\cdot 3}}<x-a>^{3}$.

donde:

• $V$ = Es la cortante.
• $M$ = Es el flector.
• $x$ = Es la distancia de la viga.
• $a$ = Es la distancia donde esta la carga.
• $P$ = Es la fuerza de la carga .
• $M_{o}$ = Es el momento .
• $w_{o}$ = Es la fuerza de la carga uniforme .
• $k$ = Es la pendiente.

Descripción del software

Fig.5 Interfaz en MATLAB "ANALISIS DE VIGA"

La interfaz es un modelo interactivo donde el usuario tiene la posibilidad de elegir qué tipo de viga quiere trabajar y en qué condiciones, según el tipo de viga que escoja se comenzaran a activar o desactivar las secciones siguientes de la interfaz, por ejemplo si está apoya se activaran los cuados de texto para modificar la longitud de la viga y la ubicación de los dos apoyos, si esta empotrada simplemente se activara el cuadro de texto de la longitud de la viga.

Se pueden elegir un tipo de cada carga ya sea puntual, distribuida o un momento, para cada una de estas se activaran los respectivos cuadros de texto para modificar sus unidades, las cuales deben estar en el mismo sistema, de lo contrario el programa no correrá, también si alguna de las ubicaciones de las cargas no se encuentra dentro de la longitud de la viga se producirá un error.

A la hora de correr el programa se leerán todos los datos introducidos con las condiciones necesarias para arrojar una gráfica del momento cortante y flector que se ha generado según los esfuerzos a los que ha sido sometida la viga como lo muestra la Fig 6.

MANUAL

1. Elija el tipo de viga que desea trabajar.
2. Por favor digite según el caso la longitud de la viga y la ubicación de los apoyos.
3. Escoja el tipo de carga que desea trabajar y el sistema de unidades.
4. Por favor digite la magnitud de la carga y sus unidades, tenga en cuenta que estas debe coincidir con el paso anterior, de lo contrario el programa no se ejecutara.
5. Verifique que estén todos los datos de la forma correcta
6. Presione gráficar y analice sus gráfica.

Resultados

El Programa a la hora de correr analiza cada una de las cargas y características de las vigas, arrojando así una gráfica de esfuerzo y cortante y momento flector como se ve en la figura 6, las gráficas son una aproximación de los esfuerzos que se han ingresado en la interfaz, en la figura se esta mostrando la gráfica de una viga apoyada de nueve metros de longitud con el primer apoyo en cero metros y el segundo es 6 metros, con una carga uniformemente distribuida de 20 kN/m.

Conclusiones y trabajo futuro

• El análisis de vigas sencillas a la hora de trabajar muchas variables se vuelve complicado, este programa es una solución ágil y simple de encontrar los efectos que se generan sobre una viga cuando tiene más de dos cargas.

• Las gráficas son una aproximación de los efectos reales ya que se tiene una brecha de error la cual será después mejorada ya que este programa es simplemente un prototipo.

• El desarrollo de este programa nos ayudo a familiarizarnos y a mejorar nuestras habilidades con el lenguaje de programación, ya que al ser tan interactivo nos ayudo a diferenciar las variables y etiquetas.

Trabajo futuro

Mejorar el programa para que se puedan ingresar más de una carga del mismo tipo a la vez, creándole unas modificaciones a la interfaz y mejorando la presentación, a futuro se espera también poder hacer una pequeña simulación de las cargas sobre la supuesta viga en que a trabajar, mostrando sus características y componentes.