Programación de Ingeniería Mecánica UPB:Grupo 1320 04

Integrantes

• Laura Victoria Munera Arango - Ingeniería Mecánica
• Laura Natalia Blanco Rodríguez - Ingeniería Textil
• Juan David Echeverry Mejía - Ingeniería Mecánica

Resumen

En esta sección se muestra el modelado y simulación del proceso de difusión de un colorante cuando es aplicado en una fibra, teniendo en cuenta que esta reacción se está dando en estado no estacionario. Principalmente para representar la simulación se tiene un programa elaborado con las herramientas que presta MATLAB. En este programa el usuario podrá encontrar medios que le permitirán establecer parámetros deseados como la concentración del colorante, coeficiente de difusión y medidas de la tela. Por otro lado le dará la posibilidad de elegir los momentos o tiempos en los que se desea ver la simulación, es decir el transcurso de la difusión del colorante a través de la fibra en un tiempo determinado, dando así la posibilidad de conocer como decrece la concentración del colorante a medida que se difunde. Se encontrará que el problema planteado estará resuelto por dos métodos, el analítico que evaluara la función de difusión establecida dados los parámetros del usuario, y el método numérico que proveerá la solución por medio de un mallado asumiendo unas condiciones de frontera e iniciales y que dará la posibilidad de establecer las distancias entre los nodos haciendo la solución mas o menos exacta. De esta forma se mostrara que a medida que se reduce la distancia entre los nodos, las curvas que expresan la solución numérica se ajustaran a las que expresan la solución analítica.

Introducción

El material textil, luego de los procesos de hilandería y/o tejeduría se somete a un proceso de teñido donde se elimina el color natural de las fibras constituyentes (crudo), el cual se denomina tintorería; Se entiende como tintorería al conjunto de procesos químicos que permitan al sustrato adquirir un color, de acuerdo con el requerimiento final. ocurre entonces que muchas veces este color debe ser cambiado para que los artículos confeccionados se diferencien entre sí.

El sustrato es el material que se va a teñir, su presentación puede ser como fibras, cintas de hilandería, hilos, tejidos o incluso prendas y los insumos son los agentes que efectúan el cambio de color (colorantes y blanqueadores ópticos).

En el presente trabajo se mostrará la capacidad de difusión de un colorante en una fibra textil en el transcurso del tiempo,utilizando la ecuación de difusividad de Fick.

Planteamiento del problema

La difusión de colorante en telas en estado no estacionario es el caso más común, y el de mayor interés por sus múltiples aplicaciones. Es un proceso de teñido descrito por una función de tiempo y distancia que se involucra con la concentración y los parámetros de difusión del colorante. Para la situación se asumen algunos factores como ideales tales como una concentración que se desgasta uniformemente asumiendo que la solución esta totalmente saturada, esto con el fin de simplificar el problema. Sin embargo la función que describe la difusión del colorante en la tela posee un comportamiento que varía a medida que avanza el tiempo y la distancia. Por tal razón se tiene el propósito de crear un software que dé la posibilidad de simular este comportamiento, permitiéndole al usuario tener conocimiento de cómo es el transcurso de la concentración del colorante a medida que se difunde a través de la tela, por medio de representaciones gráficas y numéricas. Por otro lado se quiere ampliar la complejidad de la herramienta dándole la libertad al usuario de establecer los parámetros y los momentos en los que se desea observar la simulación , permitiéndole así adaptar la situación a un problema particular. Adicional a esto se quiere establecer la solución del problema por dos métodos distintos, el analítico y el numérico, esto con el fin de establecer una comparación entre ambas soluciones y observar como se ajusta una a la otra.

Muestra gráfica del planteamiento del problema.

Para el problema se plantean las siguientes condiciones:

• Se asume la tela como virgen y una solución completamente saturada (condiciones teóricas).
• Se establecen las variables: x=espesor de la tela (siendo L el total), C= Concentración inicial (asumiendo que se difunde uniformemente), y t=tiempo.
• Se da la posibilidad de establecer la constante de difusión D acorde con las tablas ya estipuladas.
• Se establecen que sean 3 los tiempos en los que se permite ver la simulación.
• Se asumen las condiciones de frontera: x1=0 y x2=L, y las iniciales: (x=0,C=100%) y (x>0,C=0%) para la solución numérica del problema.

Cronograma

Cronograma de actividades realizadas durante el transcurso del trabajo:

Cronograma de las actividades realizadas en el transcurso del trabajo.

Marco Teórico

LEY DE FICK

La ley de Fick es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adolf Fick, que las derivó en 1855.

Considere la ecuación diferencial parcial:

${\frac {\partial C}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}$ [1]

Es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial, la cual describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adolf Fick, que las derivo en 1885. La ley de Fick nos dice que el flujo difusivo que atraviesa una superficie (J en mol cm-2s-1) es directamente proporcional al gradiente de concentración. El coeficiente de proporcionalidad se llama coeficiente de difusión (D, cm 2 s-1). La primera ley de Fick determina el flujo neto de átomos:

Utilizado el siguiente cambio de variable

$\eta ={\frac {x}{2D^{1/2}t^{1/2}}}$ [2]

por tanto sí escribimos

${\frac {\partial C}{\partial t}}={\frac {\partial C}{\partial \eta }}{\frac {\partial C}{\partial t}}={\frac {x}{4D^{1/2}t^{3/2}}}{\frac {\partial C}{\partial \eta }}$ [3]

${\frac {\partial C}{\partial x}}={\frac {\partial C\partial \eta }{\partial \eta \partial x}}={\frac {1}{2D^{1/2}t^{1/2}}}{\frac {\partial C}{\partial \eta }}$ [4]

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}[{\frac {1}{2D^{1/2}t^{1/2}}}{\frac {\partial C}{\partial \eta }}]={\frac {\partial }{\partial \eta }}[{\frac {1}{2D^{1/2}t^{1/2}}}{\frac {\partial C}{\partial \eta }}]{\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {1}{2D^{1/2}t^{1/2}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}[{\frac {1}{2D^{1/2}t^{1/2}}}{\frac {\partial C}{\partial \eta }}]={\frac {1}{4Dt}}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \eta ^{2}}}$ [5]

Sustituyendo [5] [3] y [1]

${\frac {d^{2}C}{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {dC}{d\eta }}=0$ [6]

Integrando, se obtiene (ver tablas de integración)

${\frac {C}{Csup}}=1-erf{\frac {x}{2D^{1/2}t^{1/2}}}$

La ecuación [6] nos da la distribución de la concentración del colorante en relación de concentración superficial 'Csup' como una función de x/2 (Dt)^1/2 el símbolo 'FER' significa error en la función' y es igual a:

$erf\eta ={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}\int _{0}^{x}e^{-x}2\,d\eta$

COLORANTE

Un colorante es una sustancia que es capaz de teñir las fibras vegetales y animales,en química, se llama colorante a la sustancia capaz de absorber determinadas longitudes de onda de espectro visible. Los colorantes son sustancias que se fijan en otras sustancias y las dotan de color de manera estable ante factores físicos/químicos como por ejemplo: luz, lavados, agentes oxidantes, etc.

Los productos desarrollados a lo largo de la historia se agrupan en familias de colorantes con similares características químicas que poseen cualidades propias en cuanto a: aptitud para la tintura de fibras, tipos de procesos, etc. La elección de los mismos debe ser realizada en función de las exigencias generales a que el producto final vaya a ser sometido, por los costos, por capacidad de producción, por la moda y un sin fin de razones más. La mayoría de los colorantes actuales son comercializados como polvos (sólidos a temperatura ambiente) por una comodidad operativa de los usuarios, pero son fácilmente solubilizados en agua al momento de ser utilizados.

ABSORCIÓN Y ADSORCIÓN

Es es importante para adecuada comprencion de este trabajo aclarar estos terminos:

Adsorción: es un proceso físico o químico por el cual átomos, iones o moléculas son atrapadas o retenidas en la superficie de un material.

Absorción: es un proceso físico o químico en el cual átomos, moléculas o iones pasan de una primera fase a otra incorporándose al volumen de la segunda fase.

PROCESO DE DIFUSIÓN DEL COLORANTE EN EL FIBRA

El fenómeno de tintura involucra difusividad interna y externa y velocidades de adsorción y reacción. Las moléculas de colorante deben pasar del baño de tintura a la interfase formada por el baño y la fibra, etapa conocida como difusividad externa, enseguida, el colorante debe atravesar la interfase hasta llegar a la superficie de la fibra, a esta etapa se le denomina difusividad interna, una vez ahí comienza el proceso de adsorción de las moléculas por la fibra, la rapidez con que se absorbe se conoce como velocidad de adsorción, una vez absorbidas las moléculas de colorante comienza la interacción del colorante con los sitios activos de la fibra, mejor conocida como la etapa de reacción, dicha rapidez se interpreta como la velocidad de reacción. Todos estos procesos consumen un tiempo determinado y el proceso que más tarde se le considera como el paso controlante del proceso de difusión o del proceso de reacción.

Existen cuatro pasos fundamentales que involucran transferencia de masa del colorante de los baños a las fibras. Estos cuatro pasos se en la siguiente figura y se resumen a continuación.

• PASO 1: El flujo baño de tintura llevan el colorante diluido a la región inmediata a la fibra. Entre más y más se acerca a la fibra, el flujo decrece y se desarrolla un gradiente de velocidad. La velocidad. La velocidad del baño de tintura cambia de donde existe como conjunto de un todo en la solución hasta la superficie de la fibra. La región de cambio de la velocidad de la solución la hasta la superficie de la fibra se refiere a la capa límite hidrodinámica. El grosor de dicha capa límite depende de la velocidad de flujo en el baño pasando por la fibra.

• PASO 2: Cuando los colorantes diluidos de difunden a través de la barrera hidrodinámica y son adsorbidos por la fibra, la concentración del baño de tintura cambia de la solución inicial a la superficie de la fibra. La región en la capa límite hidrodinámica donde ocurre este fenómeno se refiere a la capa de barrera difusional. Dicha capa de barrera difusional ofrece una resistencia a la adsorción de colorantes en las fibras textiles. La magnitud de esta resistencia que se observa es proporcional al grosor de la capa límite difusional, la cuela es también proporcional al grosor de la capa límite hidrodinámica.

• PASO 3: Después de que el colorante ha sido difundido a través de la barrera difusional, el colorante es rápidamente adsorbido por la superficie de la fibra.

• PASO 4: El colorante se difunde al interior de la fibra.

Diseño de la solución y Modelo matemático

Se estableció entonces un caso en el que se tuviera una sección de tela virgen con dimensiones dadas por el usuario, y sometido a un proceso de teñido, para este se tuvo en cuenta una concentración inicial y un coeficiente de difusión D, ambos también establecidos por el usuario y por ultimo unos instantes de tiempo elegidos a preferencia donde se pudiese ver el estado de la simulación en momentos definidos (todo esto ya establecido en el planteamiento del problema). Dadas estas condiciones fuera entonces posible observar el transcurso del teñido a través de la tela comprendiendo con esto el proceso de difusión del colorante.

Para el problema planteado se considero la elaboración de una interfaz gráfica que permitiera su simulación de acuerdo con los parámetros que el usuario estableciera, para esto se crearon "editboxes" en los que este pudiera ingresar los valores iniciales y constantes, "sliders" que le permitieran definir los tiempos en los que se desea ver el fenómeno, y un "axes" donde se lograra plasmar la gráfica de la simulación.

Diagrama de la solución del problema.

Para lograr el desarrollo adecuado de la simulación se tiene para el problema dos tipos de solución, una analítica y otra numérica.

• La solución analítica ya resuelta y dada por la teoría se sintetiza en una ecuación final en términos de la concentración y el tiempo, y es aplicada en el programa como función donde es posible evaluarla para las condiciones dadas y para cada tiempo propuesto. Esta solución es representada de forma gráfica.

• La segunda solución, la numérica se consigue por el método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales, utilizando un mallado que en este caso seria la tela y donde los nodos de las extremidades toman los valores de las concentraciones iniciales ya establecidas.

Donde:

-Condiciones de frontera: x1=0 y x2=L

-Condiciones iniciales: (x=0,C=100%) y (x>0,C=0%)

Esta solución se programa a partir de ciclos for, utilizando la ecuación de Newton [N] que describe la solución para cada nodo del mallado utilizando las condiciones ya mencionadas.

$Ui,j+1=[{\frac {\Delta tD}{(\Delta x)^{2}}}]Ui+1,j+[1-{\frac {2\Delta tD}{(\Delta x)^{2}}}]Ui,j+[{\frac {\Delta tD}{(\Delta x)^{2}}}]Ui-1,j$ [N]

Teniendo ambas soluciones, es posible adecuarlas en el programa para ser comparadas por medio de gráficas, donde la solución numérica se ajusta a la analítica de acuerdo a la variación de los diferenciales de tiempo y distancia que representan el espacio que hay entre cada nodo del mallado, asumiendo que entre mas pequeños sean estos mas exacta sera la solución.

Descripción del software

Descripción:

La interfaz gráfica "Difusión de un colorante en una fibra" es una herramienta que cumple con el objetivo de simular el proceso de difusión de un colorante en una tela en un estado no estacionario, en pocas palabras el teñido textil. La interfaz comprende una serie de parámetros dentro de los cuales esta definido el problema tales como variables que se asumen como constantes o se descartan asumiéndose como ideales. También le da la libertad al usuario de asumir el problema para un caso particular, esto por medio de opciones que permiten ingresar los valores iniciales y constantes del caso a preferencia, así como también permite elegir los tiempos en los que se desea ver el transcurso del teñido, brindando al usuario de esta forma una gran comodidad y utilidad.

La interfaz comprende la solución del problema por dos métodos, el analítico y el numérico, esto con el fin de establecer una comparación entre ambas y definir una correcta solución.Para establecer una comparación adecuada de ambas soluciones, se le da la posibilidad al usuario de definir los diferenciales de tiempo y distancia, que como se muestra en el diseño de la solución, influyen en que la solución numérica se ajuste a la analítica.

Interfaz gráfica sin resultados.

Contenido:

-Editboxes:

• L (distancia total de la tela, perpendicular al baño de colorante)
• C (concentración inicial del colorante en el t=0 del teñido)
• D (coeficiente de difusión, constante)

-Sliders:

• slider 1 (establece el t1)
• slider 2 (establece el t2)
• slider 3 (establece el t3)

• slider dift (establece el diferencial de t)
• slider difx (establece el diferencial de x)

-Botones:

• CALCULAR (realiza el calculo de la simulación y la gráfica para los tiempos escogidos tanto la solución analítica como la numérica)
• SALIR (sale de la interfaz)

-Textboxes:

• t1(muestra el tiempo 1)
• t2(muestra el tiempo 2)
• t3(muestra el tiempo 3)
• dift(muestra el diferencial de t)
• difx(muestra el diferencial de x)

-Axes: Se grafican los procesos para los tres tiempos elegidos, tanto por el método analítico como por el numérico.

Manual de uso:

• Al iniciar la interfaz ingrese todos los datos pedidos en las casillas pedidas sin excepción alguna, de lo contrario el programa no correrá.
• Defina los tiempos en los que desea ver el estado de la simulación, por medio de las correderas, fíjese en las casillas junto a cada una que el valor si sea el deseado.
• Defina los diferenciales de tiempo y distancia.
• Luego oprima CALCULAR, con esto se procederá al calculo de la simulación y se plasmaran los resultados gráficamente en el axes, tanto de la solución numérica como de la analítica, entonces podrá comparara ambas soluciones.
• Finalmente si lo desea y ha terminado con el uso de la interfaz, puede oprimir el botón SALIR que cerrara la interfaz y grabara sus resultados en un archivo.

Resultados y Análisis

Se obtienen 6 curvas de la solución, 3 que expresan los 3 tiempos evaluados en la solución analítica (función teórica), y las otras 3 que expresan los 3 tiempos evaluados en la solución numérica (solución aproximada establecida por el mallado). Se muestra como estas curvas se ajustan unas con las otras obteniendo así lo que se tenia esperado, que era una aproximación de la solución numérica a la analítica, confirmando así la teoría propuesta.

Resultado grafica

Con referencia a esta aproximación de la solución numérica, se muestra el comportamiento de las curvas que describen esta solución, cuando son afectadas por la variación de los diferenciales de tiempo y distancia, que como se había mencionado expresan la distancia entre los nodos del mallado. Se observa que entre más pequeños sean estos más se van a ajustar las curvas a las de la solución analítica, esto se da puesto que entre más pequeños son estos diferenciales se esta expresando un mallado más continuo, en otras palabras más exacto.

Aplicaciones

La interfaz creada resulta ser bastante útil para aplicaciones de tipo cognitivo, es decir para el aprendizaje en el momento en el que se están tratando los temas de cinética del teñido, en especial el caso en el que el proceso no es estacionario. El estudiante puede entonces observar los comportamientos del colorante a medida que se difunde a través de la tela en un tiempo determinado, y puede variar algunos parámetros, de tal forma que le sea posible observar cambios que lo lleven a conclusiones como la influencia de los mismos.

Si se miran aplicaciones de tipo laboral o para la práctica se muestra que este no es el caso, pues la interfaz no es tan completa como para aplicarla en la industria dándole el uso de herramienta, sin embargo se cree podría ser el comienzo de una especie de prototipo que conlleve a una herramienta real en la que sea posible simular los procesos de teñido en variedad de fibras y con abundantes parámetros.

Conclusiones y trabajo futuro

• Dados los resultados se muestra que al disminuir los diferenciales de tiempo y distancia, la solución numérica tiende a ajustarse a la solución analítica teórica, esto se da por que la distancia entre los nodos se hace mas pequeña formando un mallado mas constante.

• Se muestra que la solución que se consigue no es aplicable a la realidad, es mas bien de tipo teórica, ya que se asumen factores como ideales tales como la tela y las condiciones iniciales de la concentración; que aunque simplifican la solución, niegan la posibilidad de una aplicabilidad en el campo.

Pensando en un trabajo futuro, se muestra que el diseño de la interfaz comprende métodos aparentemente simples, que provienen de la teoría básica de difusión de un colorante en una fibra, y que por tal razón solo es aplicable en un caso teórico asumiendo condiciones ideales; sin embargo esto no lo hace menos útil ya que para crear una verdadera herramienta que calcule y simule los fenómenos del teñido, se tiene que empezar por lo mas básico. Con esta interfaz ya creada se pretende conseguir las bases necesarias para empezar a formar una herramienta mucho mas completa que acepte condiciones y parámetros reales de casos de la vida diaria, tal y como lo podría ser un primer prototipo que comprendiera tipos de tela distintos, condiciones adicionales como la temperatura, y lo mas notorio tipos de colorantes con condiciones del fluido y su concentración.