j
=
−
1
{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}
Modulo de un número complejo: z
editar
Llamemos z a un número complejo formado por una parte real y una imaginaria
El conjugado de un número se define como aquel que tiene la misma parte real que z, pero siendo la parte imaginaria de signo contrario:
z
∗
=
z
¯
⏟
Dos nomenclaturas
para denominar al
conjugado
=
x
−
j
⋅
y
{\displaystyle \underbrace {z^{*}={\overline {z}}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Dos nomenclaturas}}\\{\text{para denominar al }}\\{\text{conjugado}}\end{smallmatrix}}=x-j\cdot y}
A esta forma se la denomina forma binómica.
el modulo de una señal se define como la multiplicación de ese número por su conjugado
|
z
|
=
z
⋅
z
∗
=
(
x
+
j
y
)
⋅
(
x
−
j
y
)
=
x
2
−
j
x
y
+
j
x
y
−
j
2
y
2
→
j
2
=
−
1
x
2
+
y
2
{\displaystyle \left|z\right|=z\cdot z^{*}={\sqrt {(x+jy)\cdot (x-jy}})={\sqrt {x^{2}-jxy+jxy-j^{2}y^{2}}}{\xrightarrow[{j^{2}=-1}]{}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica en vez de con la forma binómica:
z
=
x
+
j
⋅
y
⏟
forma binomica
=
ρ
(
cos
θ
+
j
⋅
sin
θ
)
⏟
forma trigonometrica
=
ρ
⋅
e
j
θ
⏟
forma exponencial
{
x
=
ρ
⋅
cos
θ
y
=
ρ
⋅
sin
θ
ρ
=
|
z
|
=
x
2
+
y
2
→
debido a
(
ρ
cos
θ
)
2
+
(
ρ
sin
θ
)
2
=
ρ
2
(
cos
2
θ
+
sin
2
θ
)
⏟
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
=
ρ
tan
θ
=
y
x
E
j
.
z
=
−
1
+
j
→
ρ
=
(
−
1
)
2
+
1
2
=
2
tan
θ
=
1
−
1
=
−
1
→
θ
=
arctan
(
−
1
)
=
3
π
╱
4
,
11
π
╱
4
.
.
.
El argumento de z se denomina
arg
(
z
)
=
θ
+
2
n
π
;
n
∈
N
arg
(
z
)
∈
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&z=\underbrace {x+j\cdot y} _{\text{forma binomica}}=\underbrace {\rho \left(\cos \theta +j\cdot \sin \theta \right)} _{\text{forma trigonometrica}}=\underbrace {\rho \cdot e^{j\theta }} _{\text{forma exponencial}}\\&\left\{{\begin{aligned}&x=\rho \cdot \cos \theta \\&y=\rho \cdot \sin \theta \\\end{aligned}}\right.\\&\rho =\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\xrightarrow[{\text{debido a}}]{}}{\sqrt {\left(\rho \cos \theta \right)^{2}+\left(\rho \sin \theta \right)^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}\underbrace {\left(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \right)} _{\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}}}=\rho \\&\tan \theta ={\frac {y}{x}}\\&Ej.\\&z=-1+j\to \rho ={\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}\\&\tan \theta ={\frac {1}{-1}}=-1\to \theta =\arctan(-1)={}^{3\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;,{}^{11\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;...\\&{\text{El argumento de z se denomina }}\arg(z)=\theta +2n\pi ;n\in \mathbb {N} \\&\arg(z)\in [-\pi ,\pi ]\\\end{aligned}}}
No se ha demostrado la igualdad correspondiente a:
e
j
θ
=
cos
θ
+
j
⋅
sin
θ
{\displaystyle e^{j\theta }=\cos \theta +j\cdot \sin \theta }
Llamada fórmula de Euler, y será demostrada mas adelante, junto con la serie de Taylor. De la misma manera, y usando las PROPIEDADES DE LOS SENOIDES, tenemos:
e
−
j
θ
=
cos
(
−
θ
)
⏟
func
. par
+
j
⋅
sin
(
−
θ
)
⏟
func
. impar
=
cos
θ
−
j
sin
θ
{\displaystyle e^{-j\theta }=\underbrace {\cos(-\theta )} _{{\text{func}}{\text{. par}}}+j\cdot \underbrace {\sin(-\theta )} _{{\text{func}}{\text{. impar}}}=\cos \theta -j\sin \theta }
Periodicidad de la exponencial compleja
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Por la relación de la exponencial compleja y las senoides vista anteriormente, podemos deducir que:
z
=
x
+
j
⋅
y
e
z
+
j
2
π
=
e
z
⋅
e
j
2
π
→
Euler
e
z
(
cos
(
2
π
)
⏟
1
+
j
sin
(
2
π
)
⏟
0
)
=
e
z
e
j
2
π
=
1
Periodica
T
=
2
π
j
f
(
z
+
T
)
=
f
(
z
)
,
z
∈
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&z=x+j\cdot y\\&e^{z+j2\pi }=e^{z}\cdot e^{j2\pi }{\xrightarrow[{\text{Euler}}]{}}e^{z}\left(\underbrace {\cos(2\pi )} _{1}+j\underbrace {\sin(2\pi )} _{0}\right)=e^{z}\\&e^{j2\pi }=1\\&{\text{Periodica }}T=2\pi j{\text{ }}f(z+T)=f(z),z\in \mathbb {C} \\\end{aligned}}}
La raíz de un número complejo
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z
n
=
w
↔
w
n
=
z
E
j
:
1
+
j
4
=
w
↔
w
4
=
1
+
j
=
2
⏟
Abs()
e
j
π
╱
4
⏟
Arg()
Poniendo w en forma polar
w
=
ρ
⋅
e
j
θ
→
w
4
=
ρ
4
⋅
(
e
j
θ
)
4
=
ρ
4
⋅
e
j
4
θ
ρ
4
=
2
→
ρ
=
2
4
=
2
8
4
θ
=
π
╱
4
+
2
k
π
,
k
∈
Z
→
θ
=
π
╱
4
+
2
k
π
4
=
π
╱
16
+
k
π
╱
2
k
=
0
→
θ
=
π
╱
16
k
=
1
→
θ
=
π
╱
16
+
π
╱
2
k
=
2
→
θ
=
π
╱
16
+
π
k
=
3
→
θ
=
π
╱
16
+
3
π
╱
4
k
=
4
→
θ
=
π
╱
16
+
2
π
se repite
ρ
⋅
e
j
θ
n
=
ρ
n
⋅
e
j
(
θ
+
2
k
π
n
)
;
k
=
0
,
1
,
2...
(
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt[{n}]{z}}=w\leftrightarrow w^{n}=z\\&Ej:{\sqrt[{4}]{1+j}}=w\leftrightarrow w^{4}=1+j=\underbrace {\sqrt {2}} _{\text{Abs()}}e^{j\underbrace {{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;} _{\text{Arg()}}}\\&{\text{Poniendo w en forma polar }}w=\rho \cdot e^{j\theta }\to w^{4}=\rho ^{4}\cdot (e^{j\theta })^{4}=\rho ^{4}\cdot e^{j4\theta }\\&\rho ^{4}={\sqrt {2}}\to \rho ={\sqrt[{4}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{8}]{2}}\\&4\theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \to \theta ={\frac {{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;+2k\pi }{4}}={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+{}^{k\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\\&k=0\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;\\&k=1\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\\&k=2\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+\pi \\&k=3\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+{}^{3\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;\\&k=4\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+2\pi {\text{ se repite}}\\&{\sqrt[{n}]{\rho \cdot e^{j\theta }}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\cdot e^{j\left({\frac {\theta +2k\pi }{n}}\right)};k=0,1,2...(n-1)\\\end{aligned}}}