Planes de estudio de Matemática

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Proyecto de Aprendizaje P.G.G.

Itinerario 1: Análisis

1. Análisis Real de una variable.
2. Análisis Real de varias variables.
   1. Cálculo Diferencial.
   2. Cálculo Integral.
3. Teoría de la Medida.
4. Análisis Complejo.
5. Ecuaciones diferenciales.
   1. Ecuaciones diferenciales ordinarias.
   2. Ecuaciones en derivadas parciales.
   3. Análisis numérico de ecuaciones diferenciales.
6. Análisis de Fourier.
7. Análisis Funcional.
8. Operadores y Álgebras de Banach.
9. Análisis infinitesimal.
10. Análisis no estándar.

Itinerario 2: Álgebra

1. Álgebra Elemental.
   1. Aritmética y Teoría de Números.
   2. Teoría de Grupos y Anillos.
   3. Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois.
2. Otras estructuras algebraicas: módulos, grupoides, magmas, monoides, etc.
3. Curvas y superficies algebraicas.
4. Variedades algebraicas.
5. Álgebra Homológica.
6. Álgebra Conmutativa.

Itinerario 3: Geometría

1. Álgebra Lineal y Geometría afín.
2. Geometría Proyectiva.
3. Geometría Diferencial en el Espacio euclídeo.
   1. Geometría de Curvas y Superficies.
   2. Geometría Compleja.
4. Teoría de Variedades Diferenciables.
   1. Geometría de Variedades.
   2. Geometría Riemanniana.
5. Geometría Algebraica.
6. Geometrías no euclídeas.
   1. Geometría elíptica.
   2. Geometría hiperbólica o de Lobachevsky.

Ititnerario 4: Topología

1. Topología Elemental.
2. Topología General o conjuntista.
3. Topología Algebraica.
4. Topología de Variedades.
5. Topología Diferencial.
6. Teoría de Nudos.
7. Teoría de Grafos.
8. Variedades Topológicas y Grupos Topológicos.

Proyecto de aprendizaje C.I.

Lo primero que debes estudiar es el siguiente texto: Teoría intuitiva de conjuntos (aconsejamos estudiar el wikilibro, y no el texto en pdf, porque el wikilibro se irá actualizando con contribuciones de la comunidad, mientras que eso es algo más difícil en el libro en formato pdf). En él se expone el lenguaje común a toda la Matemática.

Para todos aquellos que ya tengan ciertos conocimientos en Teoría Intuitiva de Conjuntos pueden seguir una línea de estudios estudiando los apuntes que el profesor Carlos Ivorra tiene en su página web.

Itinerario básico

Aconsejamos seguir el siguiente orden:

• Álgebra: Tomando como hilo argumental el estudio de los números enteros, se exponen los aspectos básicos de la Teoría de Anillos, la Teoría de Grupos, el Álgebra Lineal y la Teoría de Galois. Los resultados no se hallan separados por el área al que pertenecen, sino que son expuestos a medida que se necesitan, resultando el desarrollo del libro muy intuitivo y comprensible.

• Geometría: La premisa básica es la de obtener una visión global del concepto de Geometría, partiendo de las nociones más básicas y comunes. Se estudia la geometría desde el punto de vista sintético --tanto la euclidiana como las no euclidianas--, se realiza la construcción de los números reales y de los números complejos, se introducen los métodos de la Geometría Analítica, y se finaliza exponiendo las principales geometrías desde el punto de vista global (utilizando las herramientas del Álgebra Lineal estudiadas de antemano en el curso de Álgebra, tanto como el método analítico y el sintético).

• Análisis: Exposición sistemática y organizada del Análisis Matemático (de dimensión finita, haciendo breves incursiones en el Análisis Funcional), con una especial atención a la explicación y significado físico del origen de muchos de los conceptos y problemas. Comienza con una breve exposición de la Topología General y de algunos elementos básicos de Análisis Funcional, para luego seguir por el clásico camino de las funciones de una variable (continuidad, diferenciablidad), las funciones de varias variables (continuidad, diferenciabilidad), las variedades diferenciales en $\mathbb {R} ^{n}$ y las ecuaciones diferenciales. Tras una sucinta (pero bastante completa) exposición de la Teoría de la Medida, se pasa al estudio del Análisis Vectorial, la exposición del problema de la integración de variedades mediante la cohomología de De Rham, para concluir con el Análisis Armónico y el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes de la Física Matemática.

• Variable Compleja: Sigue los tópicos clásicos de un curso de Variable Compleja, aunque con añadidos que apuntan a la Teoría de Números.

• Topología Algebraica: Contiene dos partes. La primera está dedicada a la Topología Algebraica propiamente dicha. Más concretamente, a la Homología. Comienza con la Homología Singular y estudia los complejos celulares. Tras un estudio bastante detallado de la Homología, se hace una breve incursión a la Homotopía. La segunda parte está dedicada a la Geometría Diferencial. Se estudian las variedades diferenciables y las riemannianas, y se aplica el estudio de la Homología a ellas.

• Geometría Algebraica: Texto con el desarrollo de la Geometría Algebraica desde un punto de vista clásico.

• Álgebra Homológica y Álgebra Conmutativa: Libro con dos partes bien diferenciadas: el Álgebra Homológica y el Álgebra Conmutativa. Se exponen los conceptos y técnicas básicas de ambas ramas (en la parte del Álgebra Homológica no se presupone la conmutatividad de los anillos).

• Lógica y Teoría de Conjuntos: Curso muy completo sobre Lógica Matemática. Le sigue la exposición y estudio de las axiomáticas habituales: la de Zermelo-Fraenkel con el Axioma de Elección (la más habitual) y la de von Neumann-Bernais-Gödel (menos habitual). Concluye con un riguroso estudio de los ordinales, los cardinales y cuestiones relacionadas. Éste libro requiere, si no conocimientos en otras materias de la Matemática (excepto, tal vez, sobre Álgebra), sí bastante "madurez matemática". No es en absoluto aconsejable que un alumno primerizo se enfrente a él, aun teniendo una base de Teoría Intuitiva de Conjuntos.
• Blog de MATEMÁTICAS:Para más información sobre temarios y soluciones refiérase al blog de matemáticas.

Advertencias sobre la notación

Aunque en la cabecera de la página lo dice muy claro, creo que no viene mal repetirlo: los apuntes están escritos usando una notación ligeramente distinta a la usual en algunos aspectos. En concreto invierte el orden de escritura de la composición de aplicaciones, es decir, que $(g\circ f)(x)$ denota en sus libros lo siguiente: $f(g(x))$, cuando lo usual es que se entienda que lo que significa es $g(f(x))$. En los libros de Lógica usa además el signo $\bigwedge$ como cuantificador universal (generalmente se usa el signo $\forall$) y $\bigvee$ como cuantificados existencial (mientras que generalmente se denota por $\exists$).

Comentarios

Los libros son autoexplicativos y autocontenidos, lo que quiere decir que además del desarrollo riguroso propio de los libros de texto, la teoría viene acompañada de exposiciones de la motivación histórica del estudio en cuestión, ejemplos, motivaciones intuitivas, razonamientos heurísticos y en definitiva una redacción clara, llana y "humana" que hacen que la lectura de los libros no resulte críptica. Se puede aprender muy bien solamente leyendo (y comprendiendo) los libros. Son autocontenidos en el sentido de que no se hacen referencias a resultados que no se hayan demostrado ya en los libros anteriores ("anteriores" en el orden de aparición en la página web), excepto tal vez los tres primeros (Lógica y Teoría de Conjuntos, Pruebas de Consistencia y Análisis no Estándar).

Los libros no constituyen de por sí un plan de estudios. No son apuntes, al menos no lo son en el sentido usual de la palabra. No tienen listas de problemas, algo imprescindible para dominar cualquier materia de la disciplina matemática. Es por ello que los libros son una herramienta fundamental en este plan de estudio, pero que ha de ser completada (muy poco, eso sí) con listas de ejercicios y problemas.

Los nombres de los libros son orientativos. Los títulos responden más bien a la motivación del estudio que a una clasificación rigurosa de la materia que contienen. Con esto quiero decir que en el libro de Geometría, por ejemplo, encontraremos tópicos del Análisis Real de Una Variable, en el de Análisis encontraremos encajado un curso de Topología General, en el de Topología Algebraica se incluye toda una parte de la Geometría Diferencial, etcétera. Sería discutible si los títulos son los más acertados, pero eso es cuestión de opiniones, y al fin y al cabo el autor es el único que tiene derecho a darles el título que le dé la gana.

Es muy importante seguir en el estudio el orden de aparición de los libros en la página, al menos desde el libro de Álgebra en adelante (el cuarto libro de la página). En ese volumen (que es el que podríamos decir que puede comenzar a estudiar alguien con conocimientos básicos de Teoría Intuitiva de Conjuntos) es donde comienza realmente la línea de estudios. Los tres primeros pueden dejarse para más adelante, o incluso omitirse (los libros dedicados a las Pruebas de Consistencia y al Análisis No Estándar, no así el primero, el de Lógica y Teoría de Conjuntos).

El plan de estudios completo (es decir, realizándolo hasta el final) tiene una clara vocación aritmética, en el sentido de la Teoría de Números, del Álgebra Conmutativa y de la Geometría Algebraica. Por supuesto, el estudiante puede no compartir estas preferencias. Fuera de este plan de estudios quedan importantes tópicos del Análisis, la Estadística, la Geometría (Diferencial y Riemanniana), la Topología, así como de las ramas aplicadas de la Matemática. Excepto en el caso de la Estadística y de las ramas aplicadas, en el resto de materias se llega al menos al nivel medio que se obtiene al finalizar la Licenciatura en Matemática en casi cualquier Universidad. Así, quien concluya todo este plan de estudios tendrá una base considerablemente buena en las materias "puras" de la Matemática, y un excelente nivel de Lógica, de Álgebra y de Geometría Algebraica. Podría considerarse que se ha especializado en dichas materias.

Por último, agradecer al Profesor Carlos Ivorra su desinteresada labor al colocar gratuitamente en la web sus libros. A quien estudie Matemática con ellos sólo pedirles que sean agradecidos y le hagan saber tanto su agradecimiento como las erratas o errores que puedan encontrar en sus textos. $\Box$

Historia de la Matemática

Proyecto de aprendizaje sobre la historia de la matemática.