Números naturales/Propiedades y relaciones de orden

Lección 1

Propiedades y relaciones de orden

Los números naturales son los que usamos en el proceso de contar, incluyendo el cero. El conjunto de todos los números naturales que existen se representa con el símbolo {N}

Los números naturales son un conjunto infinito. Eso quiere decir que si buscamos el número natural más grande que podemos imaginar, siempre habrá otro número natural más grande que ese. Y ese número también tendrá otro número más grande y así sucesivamente.

Se pueden representar gráficamente mediante la recta numérica. Esta es una semirrecta con marcas en su inicio y en toda su extensión, siempre separadas por la misma distancia entre ellas. Cada marca tiene asociado un número natural siguiendo el orden que les corresponde:

La recta inicia en el número cero ( $0$ ) porque es el primer elemento del conjunto y se extiende sin fin hacia la derecha porque el conjunto es infinito. Esto significa que no importa cuánto la extendamos, siempre habrá más números hacia la derecha.

caracteristicas

Los números naturales tienen varias caracteristicas importantes:

El conjunto de los números naturales tiene un elemento inicial.

El número uno ( $1$ ) es el número inicial del conjunto de los números naturales. Lo utilizamos cuando queremos indicar que no hay nada que contar. Por ser el primer número del conjunto, no existe ningún número natural a su izquierda en la recta numérica.

Todo número natural posee un único sucesor

El sucesor de un número es el número que se encuentra inmediatamente a su derecha en la recta numérica. Ese número siempre será el mismo porque solo podemos movernos horizontalmente (no podemos «hacer saltos»). Por ejemplo, el único número inmediatamente a la derecha del $4$ es el $5$ y no importa cuántas veces nos movamos hacia la derecha del cuatro, el siguiente número siempre será el cinco.

Dos números naturales distintos no pueden tener el mismo sucesor.

Los números naturales solo están presentes en la recta numérica una única vez, están en una posición designada según su orden y no es posible que dos números ocupen la misma posición. Por eso, al escoger dos números y movernos a su derecha, siempre encontraremos números diferentes.

El conjunto de los números naturales es infinito.

Como la recta numérica se extiende sin límite hacia la derecha, siempre habrá otro número natural a la derecha del número más grande que podamos imaginar.

El conjunto de los números naturales es ordenado.

Los números naturales están ordenados porque cada uno tiene una posición única en la recta numérica.

Relaciones de orden

La recta numérica también sirve para entender el orden que hay entre los números naturales. Si tomamos una recta y marcamos solamente los números 3, 5 y 7, obtenemos la recta numérica que vemos a continuación:

Con la información que obtenemos de esta recta, podemos definir los siguientes conceptos:

mayor que

Un número es mayor que ( $>$ ) otro si se encuentra a su derecha en la recta numérica.

Por ejemplo:

El 7 es mayor que el 3 porque se encuentra a su derecha en la recta numérica:

$7>3$

menor que

Un número es menor que ( $<$ ) otro si se encuentra a su izquierda en la recta numérica.

Por ejemplo:

El 5 es menor que el 7 porque se encuentra a su izquierda en la recta numérica:

$5<7$

igual a

Un número es igual a ( $=$ ) otro si ocupa la misma posición en la recta numérica. Un número solamente puede ser igual a sí mismo y nunca a otro número.

Por ejemplo:

El 5 es igual a sí mismo porque siempre se representa en el mismo punto en la recta numérica:

$5=5$

Ley de tricotomía

La ley de tricotomía nos dice que para cualquier par de números naturales que escojamos, digamos a y b, al menos una de las siguientes relaciones de orden debe ser verdadera y solamente una puede ser verdadera:

$a<b$
$a=b$
$a>b$

Si sustituimos a y b por dos números de nuestra elección, por ejemplo:

$a=8$
$b=12$

Vemos que solo una de las relaciones es verdadera:

$8<12$ : Esta relación es verdadera.
$8=12$ : Esta relación es falsa.
$8>12$ : Esta relación es falsa.

Si sustituimos a y b por otros números de nuestra elección:

$a=9$
$b=9$

Vemos que la regla también se cumple y solo una de las relaciones es verdadera:

$9<9$ : Esta relación es falsa.
$9=9$ : Esta relación es verdadera.
$9>9$ : Esta relación es falsa.

Resumen de la lección

Los números naturales son los que usamos para contar.
El cero (0) es el primer elemento del conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales es un conjunto ordenado.
El conjunto de los números naturales es infinito.
Todos los números naturales tienen un único sucesor.
Dos números naturales distintos no pueden tener el mismo sucesor.
Un número es mayor que otro si se encuentra a su derecha en la recta numérica.
Un número es menor que otro si se encuentra a su izquierda en la recta numérica.
Dos números son iguales si ocupan la misma posición en la recta numérica.
Para dos números cualquiera que escojamos, solamente una de las relaciones de orden puede ser verdadera.

Términos clave

Lecturas adicionales

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Bibliografía

Buján, Victor; Vargas, Guillermo (1975). Matemática. Séptimo año. Conjuntos, naturales, enteros (1.ª edición). San José, Costa Rica: Editorial S. O. F. O. S., S. A. p. 239.
Ramos, Francisco (2010). Aritmética. Teoría y práctica. Colección Signos (1.ª edición). Lima, Perú: Empresa Editora Macro. p. 510. ISBN 9786124034909.

Proyecto: Números naturales

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