Matemática II(UNI)
El contenido del curso viene definido por el reglamento de la Universidad Nacional de Ingeniería(UNI)(Perú):
- Geometría
- Trigonometría
Nociones básicas
editarFigura geométrica
editarGeneralizando se puede definir figura geométrica como aquella que puede determinarse mediante puntos del plano o del espacio.
Ejemplo de figuras geométricas básicas
- Punto.
- Rectas o porciones de las mismas definidas por puntos.
- Circunferencias o porciones de las mismas definida por puntos.
- Cualquier gráfica.
- Plano o porciones del mismo definidas por o mediante las figuras anteriores.
También se puede definir figura geométrica como cualquier combinación de las anteriores figuras geométricas.
Representación, definiciones y notaciones
editarLa representación y nominación de las figuras geométricas vienen estilizadas, en contra de los usos y ausencias de convenios en la Geometría, como:
El punto
editar
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Representado como un punto y entendida como un elemento sin extensión.[2]
Su denominación se hace mediante letras mayúsculas: A, B, C, D, E, F, G, H, ...
Diremos que dos puntos son iguales o coincidentes si son el mismo punto.
La recta
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Su representación debería ser una infinidad de puntos describiendo una línea recta que se extiende infinitamente es decir sin extremos pero debido a las limitaciones y costumbres locales se hace mediante un segmento con flechas en cada extremo para indicar su continuidad indefinida.[3]
Notación: se hace mediante una "L" estilizada de una forma muy peculiar y seguida de subíndices a diferencia de la usada en el resto del mundo y es decir letras minúsculas:
- L1
Una segunda nominación de la recta se hace mediante dos puntos y un símbolo que emula una recta:[4]
Ya que:
|
Diremos que dos rectas son coincidentes cuando es o se habla de la misma recta.
Diremos que dos rectas son paralelas cuando comparten las mismas orientaciones.
- Si dos rectas paralelas comparten un punto diremos que son coincidentes.
Notación: para indicar que dos rectas son paralelas se usan dos segmentos verticales y paralelos entre ambos nombres: L1 || L2, o L1
El plano
editarRepresentada como un paralelogramo y su nombre en letra mayúscula encerrada con un arco.
Notación: se usa la misma letra mayúscula seguida de un paralelogramo pequeño.
El segmento
editarEs una figura geométrica rectilínea que entendida como porción de una recta, delimitada por dos puntos, tiene la definición siguiente:
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- El par de puntos que define cada segmento se llaman extremos del segmento.
- Todo segmento queda unívocamente determinado por sus dos extremos.
Representado por una porción de recta con principio y fin, es decir, que une dos puntos.
Notación: Dado un segmento de extremos A y B, entonces se notará como
Longitud del segmento
editarPara medir longitudes se utilizan unidades de distancia establecidas previamente, podemos definirla como:
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El valor de medida de la longitud de se representa como o simplemente usando una letra minúscula: a, b, c, ...
- Para indicar la igualdad entre medidas de segmentos puede usarse un mismo distintivo centrado en los lados afectados y evitando la superposición de los mismos, dichos distintivos pueden presentarse como: uno o más segmentos perpendiculares a los lados afectados, círculos, cuadrados o rectángulos entre otros, con diferentes rellenos.
El rayo
editarEs una figura geométrica rectilínea que entendida como una de las dos partes en que un punto divide a una recta, tiene la definición geométrica siguiente:
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- El punto que determina el rayo se llama extremo.
- Todo rayo solo tiene un extremo.
- Se puede decir que el rayo se extiende hacia el infinito con un mismo rumbo u orientación
Llamaremos rayo opuesto al que con el mismo extremo se extiende en la otra orientación de la misma recta.
Notación: Dado el origen A y un punto cualquiera B de un rayo, entonces lo notaremos por
Ejercicios
editar1. | Dados tres puntos consecutivos A, B y C sobre una misma recta, se tiene que la medida del segmento c= es de 55 metros, y a= es de 11 metros.
| ||||
2. | Dado el ejercicio anterior con b=18 metros y a=b.
| ||||
3. | Dado el ejercicio inicial, si b es 5 veces más grande que a.
| ||||
4. | Dado el ejercicio inicial, nos dicen que 3a=2b.
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Ángulos
editarEn esta sección se detallan definiciones, propiedades, ejercicios y estrategias para trabajar con los ángulos.
El ángulo
editarEs una figura geométrica plana, entendida como dos rayos que comparten un mismo origen:
- El origen o punto en común se llama vértice.
- Los rayos son llamados lados.
Si esta fuera realmente la definición estricta del ángulo, entonces un triángulo no tendría ángulos por estar formado de segmentos y no de rayos.
Al entender el ángulo, como un concepto "local"[8] al punto que comparten los dos rayos, aparecen diversos tipos de ángulos combinando rectas, rayos, segmentos y arcos de circunferencia arbitrariamente a los cuales llamaremos lados indistintamente.
Notación: Un ángulo queda determinado por tres puntos, en el orden siguiente de la imagen, donde es el vértice y por tanto ocupa la parte central.[9]
Gráficamente para indicar el ángulo tratado, se hace con un arco de circunferencia centrada en el vértice, que transcurre por el interior del ángulo, y el nombre centrado delante o fuera del arco.
Medida del ángulo
editarDado un ángulo, al considerar que un lado está fijo y el otro tiene un movimiento de rotación articulado en su vértice, permite definir diferentes unidades de medidas de angulares, dividiendo una vuelta en diferentes partes, la más común son los grados sexagesimales.
- 1 vuelta = 360 grados.
- vuelta = 90 grado(un ángulo recto).
Notación: La medida de un ángulo se indica con una m delante del mismo y su valor se puede llamar a su vez por una letra griega: , , , ,
- Para indicar la igualdad entre medidas angulares puede usarse un mismo distintivo centrado en los arcos de los ángulos afectados y evitando la superposición de los mismos, dichos distintivos pueden presentarse como: multiples arcos angulares, uno o más segmentos perpendiculares a arcos de los ángulos, círculos, cuadrados o rectángulos entre otros, con diferentes rellenos y sobre los arcos de los ángulos afectados.
Clasificación de los ángulos
editarConsiderando los ángulos menores que 180º tenemos la siguiente clasificación
Según su medida | ||||||
|
Ángulos consecutivos
editarDos ángulos son consecutivos si comparten el vértice y un lado.
Ángulos adyacentes
editarSe dice de los ángulos consecutivos que están a distinto lado del lado común.[10]
Ángulos complementarios
editarDos ángulos son mutuamente complementarios si sus medidas suman 90º.
- En estos casos diremos que un ángulo es el complemento del otro o complementario al otro.
- No es obligatorio que sean consecutivos.
Ángulos suplementarios
editarDos ángulos son mutuamente suplementarios si sus medidas suman 180º.
- En estos casos diremos que un ángulo es el suplemento del otro o suplementario al otro.
- No es obligatorio que sean consecutivos.
Ejercicios
editar1. | Dada la representación de ángulos adjunta, se tiene que y
| ||||
2. | Dado el ejercicio anterior con y .
| ||||
3. | Dado el ejercicio inicial, si es 2 veces más grande que .
| ||||
4. | Dado el ejercicio inicial, nos dicen que .
| ||||
5. | Nos dicen que y que ¿cómo lo representamos?
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Ángulos opuestos por el vértice
editarDiremos dos ángulos son mutuamente opuestos por el vértice un ángulo y el ángulo formado por los rayos opuestos del primero.
Supongamos que sus medidas son y , entonces se cumple que:
Para ir de las medidas de <EAC hasta <BAD, ambos de 180º, tenemos que restarle la medida y sumarle a la medida del primero, resultando:
al simplificar se tiene que |
El uso trigonométrico del ángulo puede dar una definición más general en cuanto a medidas de ángulo se refiere, por ejemplo, un ángulo de no tiene sentido en geometría, pues tal medida coincide con el concepto de línea recta y es decir que no tiene ángulo por ser recta. Luego también se tiene el concepto de orientación del ángulo que, en trigonometría, es la orientación horaria(negativa) y anti horaria(positiva) y para medir se tiene que fijar el lado a partir del cual se empieza a medir.
En la práctica viendo el ángulo como el giro o desviación de un cuerpo sobre una recta, podemos simplificar muchos problemas, véase las interpretaciones geométricas equivalentes:
Ejercicios
editar1. | Dada la representación de ángulos adjunta.
|
2. | Un avión(en azul) ejecuta diferentes correcciones de su nuevo rumbo(en rojo).
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Ángulos de una secante a dos rectas
editarEl interés recae en la secante a dos rectas sobre la cual aparecen dos vértices para distintos ángulos. Se prioriza el uso de secante a dos rectas paralelas pues si no son paralelas aparece un triángulo del cual ya se hablará en profundidad después.
Ángulos internos Son los ángulos que quedan comprendidos entre las dos rectas paralelas.
Ángulos externos Son los ángulos que no son internos.
Los siguiente ángulos no comparten vértice:
Ángulos alternos internos
editarSon los ángulos que quedan comprendidos entre las dos rectas paralelas y a distinto lado de la secante.
Ángulos alternos externos
editarSon los ángulos que no son internos y quedan a distinto lado de la secante.
Ángulos correspondientes
editarSon los ángulos que a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno.
Véase que el caso de recta secante a otras dos paralelas solo aparecen dos únicas medidas angulares que son suplementarias, esto permite saltar de unas rectas a otras que son sus paralelas cómodamente.
Ejercicios
editar1. | Un automóvil circula con dirección L0, luego gira a la derecha y toma la dirección L2, y luego con un giro a la izquierda se incorpora en una calle con dirección L1. Si nos dicen que y que L0 L1.
| ||||
2. | Un automóvil circula con dirección L0, luego gira a la izquierda y toma la dirección L2 en retroceso, y luego con un giro a la derecha se incorpora en una calle con dirección L1. Si nos dicen que y que L0 L1.
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3. | Un ejercicio de maniobras navales para un barco carguero, obliga al capitán a realizar una serie de giros para evitar obstaculos y seguir con el rumbo inicial, es decir que L0 L1, se le pregunta al capitán previamente:
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4. | Dados dos pares de rectas paralelas, es decir, L0 L2 y L1 L3, si .
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Triángulos
editarUn triángulo son 3 puntos no colineales unidos mediante segmentos.
- A los 3 puntos se les llama vértice:
- A, B y C
- A sus 3 segmentos se les llama lados:
- , y
- Diremos que un vértice y un lado son opuestos si no están uno al lado del otro:
- opuesto de C, de A y de B.
- Tiene 3 ángulos internos definidos por los lados contiguos, uno en cada vértice.
- , y
- Tiene 3 ángulos externos definidos por cada lado y la prolongación del contiguo, uno en cada vértice.
- , y
Propiedades angulares del triángulo
editarLas siguiente propiedades se demuestran rápidamente con el método aprendido en la sección de ángulos.
Propiedades: Dado un triángulo se tiene:
- La suma de la medida de los ángulos internos es 180º.
- La suma de la medida de dos ángulos internos menos la del externo no adyacente es 0º.
- La suma de la medida de dos ángulos externos menos la del interno no adyacente es 180º.
- La suma de la medida de los ángulos externos es 360º.
Tipos de triángulos
editarClasificación según la medida de sus lados:
- Un triángulo es equilátero si tiene todos sus lados de igual medida.
- Un triángulo es isósceles si tiene dos lados de igual medida.
- Un triángulo es escaleno si no tiene lados de igual medida.
Clasificación según la medida de sus ángulos:
- Un triángulo es acutángulo si tiene todos sus ángulos agudos.
- Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
- Un triángulo es obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.
Triángulo | equilátero | isósceles | escaleno |
---|---|---|---|
acutángulo | |||
rectángulo | |||
obtusángulo |
Axiomas
editar- Por dos puntos diferentes pasa una única recta.
- La línea recta tiene la longitud más corta entre dos puntos.
- Dado un punto sobre una recta y la medida de un ángulo, entonces el segundo lado del ángulo quedan determinados de forma única y el punto es su vértice.
De estos axiomas se derivan las siguientes propiedades interesantes a nivel investigativo para la sección de congruencias. En resumen se persigue garantizar que un triángulo construido con los mismos datos sea el mismo.
Propiedades en el plano:
1. |
| ||
2. |
| ||
3. |
| ||
4. |
| ||
5. |
| ||
6. |
| ||
7. |
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Simetrías
editarSección de ejercicios mentales, las demostraciones se muestran como curiosidad para profesores, no son necesarias para el alumno ya que muchas son sencillamente intuitivas, por tanto solo se tiene que visualizar las simetrías mentalmente.
Definiciones
editar- Llamaremos mediatriz de un segmento a la recta que se extiende perpendicularmente a dicho segmento, seccionándolo en su punto medio.
- El eje de simetría de dos puntos es el conjunto de todos los puntos que equidistan a ambos puntos.
Propiedades
editar1. | El eje de simetría de dos puntos es la mediatriz del segmento formado por dichos puntos.
|
Hallar una simetría de una figura geométrica consistirá en encontrar el eje de simetría, es decir los puntos de recta que equidistan a cada punto de la figura analizada y su punto simétrico.
- Se omitirá la simetría que pueda ter los conjuntos de puntos colineales(alineados) por la recta que los contiene.
- Un ángulo tiene un eje de simetría que pasa por su vértice y contiene la bisectriz.
- Se puede considerar que una circunferencia tiene infinitos ejes de simetría y todos pasan por el centro de la misma.
- Se puede considerar que dos rectas paralelas tienen infinitos ejes de simetría perpendiculares a las mismas y un solo eje de simetría paralelo a dichas dos rectas y que transcurre entre ellas.
Polígonos
editarNotas
editar- ↑ Este axioma figura en Los elementos, pero es más antiguo, ya que aparece con naturalidad en los escritos de las discusiones de las paradojas de Zenon como el de La dicotomía.
- ↑ La representación de un punto como el elemento que tiene en común dos rectas que se cortan es la más recomendada y adecuada en áreas como el dibujo técnico.
- ↑ En diversos escritos y fuentes extranjeras la notación gráfica de una recta es mayoritariamente una simple línea recta.
- ↑ Hay geometrías no euclídeas el las que por dos puntos hay tantas rectas como se quieran, como en la geometría esférica al tomar dos puntos antipodales.
- ↑ Aunque precisa sigue siendo una definición poco usada, lo normal en textos matemáticos puede ser algo como: donde donde es la recta sobre la que se intenta definir un segmento con A y B.
- ↑ La definición de distancia es lo primero que se hace para establecer longitudes o magnitudes, estas pueden tener distintas notaciones según el área de las matemáticas que se estudie: d(A,B) o .
- ↑ El nombre académico más conocido y usado es el de semirrecta habiendo dos tipos principalmente, una abierta y otra cerrada. El uso actual puede ser del tipo para el caso cerrado y para el caso abierto.
- ↑ Aquí local es usado como sinónimo de proximidad o cercanía en este caso al punto compartido por los dos rayos
- ↑ La orientación del ángulo también es importante para la trigonometría, para distinguir el sentido horario del anti horario . Otras notaciones también son válidas en otros textos como e incluso cuando no hay posibilidad de equivocarse.
- ↑ Hay importantes referencias en inglés y español que indican la obligatoriedad de que los lados no comunes pertenezcan a una recta, es decir, sean rayos opuestos de una recta. Pero hay otras referencias en francés que solo requieren un lado común y la intersección de las regiones angulares ha de ser dicho lado común.
- ↑ Para espacios métricos la desigualdad triangular no es una desigualdad estricta ya que se estudia la posibilidad de puntos o lados alineados.
- ↑ Las siglas significan L=Lado y A=Ángulo, usadas para no repetir las palabras, las principales son ALA, LAL y LLL.