Métrica infinito para funciones contínuas

La métrica infinito para funciones continuas (o métrica del supremo) es una distancia abstracta en espacio de funciones continuas, que se define de la siguiente manera:

Sea $(X,{\mathcal {T}})\,$ un espacio topológico y sea $(Y,d)\,$ un espacio métrico. Definimos el conjunto de las funciones acotadas de $X\,$ en $Y\,$ a partir del diámetro del conjunto imagen:

$B(X,Y)=\{f\colon X\to Y:{\mbox{diam}}(f(X))<\infty \}$

La métrica infinito dota a este conjunto de la estructura de espacio métrico, definiendo la distancia como:

$d_{\infty }(f,g)=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|$

Nótese que es necesario estar trabajando sobre las funciones acotadas, para que esta distancia esté bien definida y nunca valga infinito.

Demostración: $d_{\infty }(f,g)$ es una métrica sobre un conjunto $X$

Para demostrar que, efectivamente, es una métrica sobre un conjunto $X$ debemos comprobar las propiedades métricas D1) D2) y D3), siendo estas no negatividad y anulación, simetría y la desigualdad triangular, respectivamente.

D1) sean $f(x),g(x)$ funciones continuas en $\mathbb {R}$. Basta con considerar la definición de la métrica para observar que el supremo de un valor absoluto es siempre positivo. Por último, si $f(x)=g(x)\forall x\in \mathbb {R}$, la diferencia de las imágenes será nula por lo que $d_{\infty }(f,g)=0$.

D2) Sean $f(x),g(x)$ funciones continuas en $\mathbb {R}$.

$d_{\infty }(f,g)=sup_{x\in [a,b]}\{|f(x)-g(x|\}=sup_{x\in [a,b]}\{|-(f(x)-g(x))|\}=sup_{x\in [a,b]}\{|g(x)-f(x|\}=d_{\infty }(g,f)$

D3) Sean $f(x),g(x),h(x)$ funciones continuas en $\mathbb {R}$. Queremos demostrar que $d_{\infty }(f,h)\leq d_{\infty }(f,g)+d_{\infty }(g,h)$. Sea:

$d_{\infty }(f,h)=sup_{x\in [a,b]}\{|f(x)-h(x|\}=sup_{x\in [a,b]}\{|f(x)-g(x)+g(x)-h(x)|\}\leq$
$\leq sup_{x\in [a,b]}\{|f(x)-g(x)|+|g(x)-h(x)|\}\leq sup_{x\in [a,b]}\{|f(x)-g(x)|\}+sup_{x\in [a,b]}\{|g(x)-h(x)|\}=$
$=d_{\infty }(f,g)+d_{\infty }(g,h)$

Por lo que $(X,d_{\infty }(f,g))$ es un espacio métrico.

Casos interesantes

• Un caso interesante se da cuando $X\,$ es un espacio compacto, pues en este caso, las funciones continuas son un subconjunto de las acotadas, por lo que tenemos una métrica para el espacio de las funciones continuas que van de $X$ a $Y$.

• Otro caso interesante es cuando $Y=\mathbb {R}$, pues allí las funciones acotadas (o las continuas) forman un espacio vectorial, y esta distancia resulta ser una norma vectorial.

Algunas propiedades

Esta distancia cumple algunas propiedades bastante importantes:

1. Si $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ es una sucesión de funciones continuas convergentes a $f$ según esta métrica (lo que se conoce como convergencia uniforme de funciones), entonces $f$ será también continua
2. Si $Y\,$ es un espacio métrico completo, entonces $B(X,Y)\,$ , dotado de esta métrica, también lo será.