Lógica proposicional/Reglas de inferencia

Lección 9

Reglas de inferencia

Cuando usamos la lógica proposicional para analizar un problema no solo queremos describirlo en términos de afirmaciones y conectivas lógicas. También queremos obtener información nueva. Esta información puede incluir el determinar si una afirmación es una conclusión válida a partir de los datos proporcionados en la especificación del problema o saber que información podemos deducir a partir de las premisas que nos proporcionan. Para lograr esto los sistemas lógicos necesitan al menos una regla de inferencia. Las reglas de inferencia son construcciones de un sistema que permiten determinar información nueva a partir de la información ya existente y tienen la forma general: «Si $\alpha$ y $\beta$ entonces $\gamma$ ».^[1]

Las reglas de inferencia se modelan como implicaciones, donde el antecedente de la implicación está compuesto de una conjunción de proposiciones llamadas premisas y el consecuente se llama conclusión. Su aplicación a un conjunto de premisas para llegar a una conclusión se llama argumento y consideramos que es válido si la conclusión es necesariamente verdadera cuando las premisas son verdaderas. Esta condición se cumple cuando la implicación es una tautología. Por ejemplo, si tenemos una premisa $\alpha$ podemos llegar a la conclusión $\alpha \lor \beta$ mediante un argumento válido o regla de inferencia porque la implicación $\alpha \Rightarrow (\alpha \lor \beta )$ es una tautología, tal y como lo podemos ver en la siguiente tabla.^[2]

${\boldsymbol {\alpha }}$	${\boldsymbol {\beta }}$	${\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {\lor }}{\boldsymbol {\beta }}$	${\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {\Rightarrow }}({\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {\lor }}{\boldsymbol {\beta }})$
$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$V$	$V$
$F$	$V$	$V$	$V$
$F$	$F$	$F$	$V$

Como podemos ver en la tabla, si las premisas son falsas, el valor de la conclusión carece de importancia porque la implicación siempre será verdadera. Pero cuando las premisas son verdaderas, la conclusión también debe ser verdadera para que la implicación sea una tautología.^[2]

Equivalencias contra reglas de inferencia

Una diferencia importante entre las equivalencias lógicas y las reglas de inferencia que es necesario resaltar es la forma en la que se pueden aplicar. Las equivalencias son bidireccionales. Eso significa que en cualquier momento del proceso de razonamiento podemos sustituir una proposición por su equivalente (por ejemplo podemos cambiar $\alpha$ por $\neg \neg \alpha$ usando la equivalencia de la doble negación). Luego, si es necesario, podemos aplicar la equivalencia en sentido inverso sin ningún problema (podemos reemplazar $\neg \neg \alpha$ con $\alpha$ usado de nuevo la equivalencia de doble negación pero en sentido inverso).

La reglas de inferencia, por su parte, solo se pueden aplicar en un sentido. Podemos incorporar o deducir la conclusión usando una regla de inferencia si sabemos que las premisas son verdaderas. Sin embargo, una proposición que se ajusta a la conclusión de una regla de inferencia no nos permite deducir que un conjunto de proposiciones que se ajusten a las premisas de esa regla de inferencia sean verdaderas. Por ejemplo, si sabemos que $\beta \land \gamma$ es verdadera, podemos usar una regla de inferencia para deducir que $\gamma$ es verdadera. Pero si sabemos que $\gamma$ es verdadera, no podemos usar esa regla de inferencia para deducir $\beta \land \gamma$ porque la regla no nos dice nada sobre el valor de verdad de $\beta$ .

Notación

Hay dos aspectos relacionados a la notación de las reglas de inferencia que es necesario aclarar: la omisión de los paréntesis en las conjunciones que forman las premisas cuando estas son más de dos y el uso del símbolo ${\boldsymbol {\therefore }}$ (llamado «por lo tanto»).

Las conjunciones entre las premisas del argumento normalmente se escriben como una secuencia de conjunciones sin paréntesis: $\alpha \land \beta \land \gamma \land \delta$ . Podemos hacer eso sin temor a afectar el valor de verdad de la proposición resultante y a pesar de que las reglas de construcción de proposiciones estudiadas en la lección 6 requieren los paréntesis gracias a la equivalencia de asociatividad de la conjunción. Esta equivalencia nos muestra que sin importar el orden en que acomodemos los paréntesis, podemos convertir una secuencia de conjunciones en otra sin afectar el valor de verdad resultante.

El símbolo ${\boldsymbol {\therefore }}$ proporciona una forma alternativa y más conveniente de escribir las reglas de inferencia y los procesos de razonamiento en general. Una regla de inferencia, sus premisas y la conclusión se pueden escribir en forma de implicación, como en este caso: $(A\land (A\Rightarrow B))\Rightarrow B$ , donde la proposición $A$ y la proposición $A\Rightarrow B$ son las premisas y la proposición $B$ es la conclusión. Sin embargo es más conveniente para los procesos de deducción escribirlas en forma de tabla:

${\begin{array}{l}A\\A\Rightarrow B\\\hline \therefore B\end{array}}$

En la expresión anterior cada una de las líneas arriba de la barra horizontal son las premisas y la conclusión es lo que se encuentra a la derecha del símbolo «por tanto»: $\therefore$

Reglas de inferencia más comunes

Al igual que en el caso de las equivalencias, existe una cantidad infinita de reglas de inferencia, ya que simplemente son implicaciones tautológicas de proposiciones arbitrarias. Sin embargo, existe un conjunto reducido de reglas usadas con frecuencia que son muy útiles durante los procesos de razonamiento.^[2]

Regla de inferencia	Implicación	Nombre
${\begin{array}{l}\alpha \\\beta \\\hline \therefore \alpha \land \beta \end{array}}$	$((\alpha )\land (\beta ))\Rightarrow (\alpha \land \beta )$	Introducción de la conjunción (IC)
${\begin{array}{l}\alpha \\\hline \therefore \alpha \lor \beta \end{array}}$	$\alpha \Rightarrow (\alpha \lor \beta )$	Introducción de la disyunción (ID)
${\begin{array}{l}\alpha \land \beta \\\hline \therefore \alpha \end{array}}$	$(\alpha \land \beta )\Rightarrow \alpha$	Eliminación de la conjunción (EC)
${\begin{array}{l}\alpha \Rightarrow \beta \\\alpha \\\hline \therefore \beta \end{array}}$	$((\alpha \Rightarrow \beta )\land \alpha )\Rightarrow \beta$	Modus ponens (MP)
${\begin{array}{l}\alpha \Rightarrow \beta \\\neg \beta \\\hline \therefore \neg \alpha \end{array}}$	$((\alpha \Rightarrow \beta )\land \neg \beta )\Rightarrow \neg \alpha$	Modus tollens (MT)
${\begin{array}{l}\alpha \lor \beta \\\neg \alpha \\\hline \therefore \beta \end{array}}$	$((\alpha \lor \beta )\land \neg \alpha )\Rightarrow \beta$	Silogismo disyuntivo (SD)
${\begin{array}{l}\alpha \Rightarrow \beta \\\beta \Rightarrow \gamma \\\hline \therefore \alpha \Rightarrow \gamma \end{array}}$	$((\alpha \Rightarrow \beta )\land (\beta \Rightarrow \gamma ))\Rightarrow (\alpha \Rightarrow \gamma )$	Silogismo hipotético (SH)
${\begin{array}{l}\alpha \Rightarrow \gamma \\\beta \Rightarrow \delta \\\alpha \lor \beta \\\hline \therefore \gamma \lor \delta \end{array}}$	$((\alpha \Rightarrow \gamma )\land (\beta \Rightarrow \delta )\land (\alpha \lor \beta ))\Rightarrow (\gamma \lor \delta )$	Dilema constructivo (DC)
${\begin{array}{l}\alpha \Rightarrow \gamma \\\beta \Rightarrow \delta \\\neg \gamma \lor \neg \delta \\\hline \therefore \neg \alpha \lor \neg \beta \end{array}}$	$((\alpha \Rightarrow \gamma )\land (\beta \Rightarrow \delta )\land (\neg \gamma \lor \neg \delta ))\Rightarrow (\neg \alpha \lor \neg \beta )$	Dilema destructivo (DD)
${\begin{array}{l}\alpha \land \beta \\\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma )\\\hline \therefore \gamma \end{array}}$	$((\alpha \land \beta )\land (\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma )))\Rightarrow \gamma$	Demostración condicional
${\begin{array}{l}\alpha \Rightarrow \gamma \\\beta \Rightarrow \gamma \\\hline \therefore (\alpha \lor \beta )\Rightarrow \gamma \end{array}}$	$((\alpha \Rightarrow \gamma )\land (\beta \Rightarrow \gamma ))\Rightarrow ((\alpha \lor \beta )\Rightarrow \gamma )$	Demostración por casos
${\begin{array}{l}\alpha \Rightarrow \beta \\\hline \therefore \alpha \Rightarrow (\alpha \land \beta )\end{array}}$	$(\alpha \Rightarrow \beta )\Rightarrow (\alpha \Rightarrow (\alpha \land \beta ))$	Absorción (A)

Resumen de la lección

Las reglas de inferencia permiten determinar información nueva a partir de la información ya existente.
Un argumento es válido si la conclusión es verdadera siempre que las premisas son verdaderas.
Una regla de inferencia es una implicación tautológica (siempre es verdadera) con las premisas como antecedente y la conclusión como consecuente.
El símbolo $\therefore$ proporciona una forma alternativa de escribir las reglas de inferencia.

Términos clave

Bibliografía

↑ Hoare, Charles Antony Richard (1969). «An axiomatic basis for computer programming». Communications of the ACM (en inglés) (Nueva York, Estados Unidos: ACM) 12 (10): 576-580. ISSN 0001-0782. doi:10.1145/363235.363259.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.

Proyecto: Lógica proposicional

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[hoare1969-1] Hoare, Charles Antony Richard (1969). «An axiomatic basis for computer programming». Communications of the ACM (en inglés) (Nueva York, Estados Unidos: ACM) 12 (10): 576-580. ISSN 0001-0782. doi:10.1145/363235.363259.

[grimaldi1998-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Grimaldi, Ralph (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3.ª edición). Massachusetts, Estados Unidos: Addison Wesley Longman. p. 1120. ISBN 968-444-324-2.

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