Lógica proposicional/Alí Babá y las dos puertas

El siguiente acertijo se puede resolver aplicando los principios de la lógica proposicional. Utilice los conceptos aprendidos en este proyecto de aprendizaje para resolver las preguntas que se le plantean a Alí Babá.

Alí Babá logró entrar a la cueva de los ladrones pero conseguir el tesoro no sería tan sencillo. Al fondo de la primera recámara encontró dos puertas y detrás de cada puerta hay un tesoro o una trampa mortal. La puerta de la izquierda están identificada con la letra $A$ y la puerta de la derecha con la letra $B$. Ambas puertas tienen inscripciones y Alí Babá sabe que ambas son ciertas o ambas son mentiras. La puerta con la letra $A$ tiene la siguiente inscripción:

Al menos una de estas dos puertas oculta un tesoro.

Por su parte, la puerta con la letra $B$ tiene la inscripción:

Detrás de la puerta $A$ hay una trampa mortal.

Alí Babá debe contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Hay algún tesoro detrás de alguna de las dos puertas o ambas ocultan trampas mortales?
2. Si alguna de las dos puertas oculta un tesoro, ¿cuál de las dos es?

Solución

El primer paso necesario para resolver el problema es identificar las proposiciones primitivas. En este caso, usaremos las mismas letras que identifican las puertas para representar las siguientes proposiciones: A: La puerta A oculta un tesoro. B: La puerta B oculta un tesoro. Dado que las puertas solo ocultan una de dos cosas posibles (un tesoro o una trampa) podemos usar la negación de las proposiciones anteriores para representar la situación opuesta. $\neg A$ significa que detrás de la puerta A hay una trampa (no hay un tesoro) y $\neg B$ significa que detrás de la puerta B hay una trampa. El siguiente paso es representar las afirmaciones en cada puerta con proposiciones compuestas definidas en términos de las proposiciones primitivas definidas anteriormente. En este acertijo tenemos dos puertas con dos inscripciones. Inscripción de la puerta A: $A\lor B$ Significa que hay un tesoro al menos detrás de una de las dos puertas. Inscripción de la puerta B: $\neg A$ Significa que detrás de la puerta A no hay un tesoro, osea que hay una trampa mortal. Ahora es necesario identificar las premisas del problema. Este acertijo en particular solo tiene una premisa indicada en la oración: «Ambas puertas tienen inscripciones y Alí Babá sabe que ambas son ciertas o ambas son mentiras». Una forma alternativa de redactar la oración es diciendo que la inscripción en la puerta A es cierta si y solo si la inscripción en la puerta B es cierta. Eso nos indica que la premisa del problema se puede modelar usando una equivalencia material: $(A\lor B)\Leftrightarrow \neg A$ Con las proposiciones primitivas debidamente identificadas y el problema expresado en forma de proposiciones, que usaremos como premisas para el proceso de deducción, podemos analizar las preguntas que se le plantean a Alí Babá y tratar de contestarlas. La cuestión es identificar si en realidad existe un tesoro. Para averiguarlo usaremos una deducción indirecta, asumiendo que no existe un tesoro: $\neg (A\lor B)$. Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $(A\lor B)\Leftrightarrow \neg A$ Premisa n/a 2 $\neg (A\lor B)$ Suposición para realizar una demostración indirecta n/a 3 $((A\lor B)\Rightarrow \neg A)\land (\neg A\Rightarrow (A\lor B))$ Definición de equivalencia material 1 4 $\neg A\Rightarrow (A\lor B)$ Eliminación de la conjunción (EC) 3 5 $\neg \neg A$ Modus tollens (MT) 2, 4 6 $A$ Doble negación 5 7 $A\lor B$ Introducción de la disyunción (ID) 6 8 $(A\lor B)\land \neg (A\lor B)$ Introducción de la conjunción (IC) 2, 7 9 $A\lor B$ Deducción indirecta 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Ahora que sabemos que existe un tesoro porque al menos una de las dos puertas oculta uno, podemos determinar cuál de las dos puertas contiene el tesoro usando una deducción directa: Identificador Proposición Regla Dependencias 1 $(A\lor B)\Leftrightarrow \neg A$ Premisa n/a 2 $A\lor B$ Premisa n/a 3 $((A\lor B)\Rightarrow \neg A)\land (\neg A\Rightarrow (A\lor B))$ Definición de equivalencia material 1 4 $(A\lor B)\Rightarrow \neg A$ Eliminación de la conjunción (EC) 3 5 $\neg A$ Modus ponens (MP) 2, 4 6 $B$ Silogismo disyuntivo (SD) 2, 5 Solución: Existe un tesoro ($A\lor B$) y se encuentra detrás de la puerta $B$.

Proyecto: Lógica proposicional

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