Historia de la matemática/Unidad I
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Matemáticas en la Antiguedad
editarAbarcan el avance matemático desde las primeras civilizaciones hasta el siglo V d.C. siendo desarrolladas por muchas civilizaciones, griegas, egipcias, árabes, precolombinas entre otras.
Matemáticas Egipcias
editarAlrededor del 2700 a. C. los egipcios introdujeron el primer sistema de numeración completamente desarrollado de base 10. En el Imperio Nuevo estudiaron las fracciones unitarias y elaboraron tablas de segundos resultados.
Las matemáticas en el Antiguo Egipto constituyeron la rama de la ciencia que más se desarrolló, y podemos estudiarlas a partir del papiro Rhind, que anuncia pomposamente: Reglas para estudiar la naturaleza y para comprender todo lo que existe, todo misterio, todo secreto. Los escribas solucionaron varios problemas matemáticos muy complejos, 84 de los cuales se explican en el papiro matemático de Rhind (Papiro de Ahmes) escrito en el siglo XX a.C. este papiro muestra también como los egipcios extraían raíces cuadradas.
Antes del 2000 a. C., comenzaron a aparecer referencias claras que citaban aproximaciones para π y raíces cuadradas. Las relaciones del número exacto, tablas aritméticas, los problemas del álgebra y aplicaciones prácticas con pesos y medidas también comenzaron a aparecer alrededor del 2000 a. C., con varios problemas solucionados por métodos aritméticos abstractos.
Sus formas más complejas de aritmética incluyeron el uso de tablas de fracciones, así como restos de la sustracción no aditiva y de la división. Los restos son precedidos por series binarias y seguidos por un factor de posicionamiento en la tablilla de Ajmin, el PMR y otros textos.
Para la adición y la multiplicación, emplearon el método de duplicar, y de dividir por dos, un número conocido para encontrar a la solución. Para la sustracción y la división emplearon otros métodos que todavía no se conocen en su totalidad. El «método de posición falsa» puede no haber sido utilizado para la división y los problemas simples del álgebra.
Los papiros de Berlín, escritos alrededor del 1300 a. C., muestra que los antiguos egipcios habían solucionado dos ecuaciones de segundo grado, Diofánticas, aunque el método de Berlín para solucionar x² + y² = 100 no se ha confirmado en un segundo texto.
En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito en jeroglíficos, era un sistema decimal, con sígnos distintos para 10, 100, 1000, etc, que se usó en el periodo Predinástico. El segundo, el sistema hierático, escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un número a un símbolo, se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor 2150 a. C.
Suma y Resta
Para los signos más y menos, se usaban los jeroglíficos
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Y |
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La sustracción está descrita en el rollo de cuero EMLR (1800 a. C.), un documento que incluye cuatro métodos de suma.
La multiplicación egipcia se hacía por duplicaciones del multiplicando, y es conocido como duplicación y mediación, y se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación.
La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación: Se marcan los números de la columna B cuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la columna A se halla el cociente.
Los números racionales se podían también expresar, pero solamente como sumas de fracciones unitarias, es decir sumas de los inversos de los números enteros positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción era una boca, y significaba la "parte":
Para las medidas agrarias de superficie y capacidad, conservaron un sistema mucho más antiguo, basado en las divisiones por dos de 1/2, fracciones representadas en el Ojo de Horus (ojo izquierdo que le fue arrancado por Seth). Cada fracción se representaba por el jeroglífico correspondiente del ojo:
Por ejemplo:
Significa 1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 (45/32 = 1'40625) heqat de cebada.
Fracciones agrarias
Utilizaban un tercer sistema de notación para medir los campos:
de setat, 
de setat, 
de setat, etc.
Por ejemplo:
Significa: 1/4 + 1/8 (3/8 = 0'375) de arada.
Matemáticas Griegas
editarLa civilización griega se desarrolla en el siglo X a.C., desde entonces comenzaron a desarrollar muchas ciencias desde hace unos 3000 años.
Siglo VI a.C.
Uno de los mas grandes exponentes de la matemática griega es Pitágoras de Samos, es creador del teorema de pitágoras, afirmaba que todo es matemáticas. Estudió y clasificó los números (perfectos, amigables, irracionales y figurados), además descubrió las ternas pitágoras y los sólidos regulares. El teorema de pitagoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio
Siglo V a.C.
Zenón de Elea desarrolla el pensamiento infinitesimal retomado en el siglo XVII d.C. por Leibniz y Newton en 1666.
Antifonte o Antifón desarrollo un método de exhausción (procedimiento geométrico-matemático de aproximación a un resultado), donde al avanzar el cálculo, aumenta el grado de precisión. Trató de determinar el área del círculo inscribiendo en él un mayor número de triángulos, cada vez más pequeños, hasta que su área se colmara.
Hipias de Élide fue el descubridor de la cuadratriz, empleada para buscar la solución a dos de los tres problemas de la geometría griega, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
Siglo IV a.C.
Hipaso de Metaponto estudió los números irracionales, en una época en la que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo.
Teeto clasificó varias formas de números irracionales como expresiones de raíces cuadradas.
Eudoxo de Cnidos demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura, teoremas ya intuidos por Demócrito. Utilizando el método de exhausción (antecedente del cálculo integral) para calcular áreas y volúmenes.
Arquitas fue el primero en usar el cubo en la geometría y a acotar las matemáticas a las disciplinas técnicas como la geometría, aritmética, astronomía y acústica, con la cuales se cree haya inventado la polea, el tornillo y una especie de mecanismo articulado con alas con el que, aunque sin éxito, intentó volar.
Siglo III a.C.
Comenzaron a plantear problemas que fueron resueltos por los métodos desarrollados por Leibniz siglos mas tarde.
Euclides escribe su obra "Los Elementos", parte cinco postulados para el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos, esferas, triángulos, conos, oblongos, rombos y romboides. (las formas regulares). La geometría euclidiana ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento, entre ellos la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX. A Euclides se le considera "El Padre de la Geometría". Siglos después algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las "geometrías no euclidianas". Dichas geometrías tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados.
Erátostenes conociendo que era esférica calculó su circunferencia.
Arquímides fue otro griego dio grandes aportes a las matemáticas, uno de los mas grandes matemáticos de la historia, dió una aproximación bastante precisa del número pi, definió varias fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución, hizo varios trabajos sobre los círculos, las espirales, esfera, cilindro y sobre los cuerpos flotantes, daba a conocer sus trabajos por correspondencia, fue el inventor del tornillo.
Apolonio de Perge escribe su obra "Sobre las secciones cónicas", le dió el nombre de elipse, parábola e hipérbola. Recopiló su obra en ocho libros y fue conocido con el sobrenombre del Gran Geómetra. Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, publicado en su obra "Las Tangencias o Los Contactos". En su obra eparto rápido explicaba métodos rápidos de cálculo y daba una aproximación del número pi. Otras de sus obras son "Secciones en una razón dada", "Secciones en un área dada", "Secciones determinadas", "Tangencias", "Lugares planos",
Siglo II a.C.
Hiparco de Nicea en el siglo II a.C. desarrolla la trigonometría, relaciona las medidas angulares con las lineales. Construyó una tabla de cuerdas, que equivalía a una moderna tabla de senos. de esta forma relacionó los lados y los ángulos de todo triángulo plano.
Siglo I a.C.
Teodosio de Bitinia (Teodosio de Trípoli) escribe el libro Sphearica, donde estudia la geometría de la esfera, compuesto de tres libros, su trabajo establecia los principios de la astronomía y explicaba muchos fenomenos naturales.
Siglo I d.C.
Herón de Alejandría escribió la obra La Métrica, donde estudia las áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Desarrolla también técnicas de cálculo entre ellas el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones. Desarrolla la fórmula de Herón, que relaciona el área de un triángulo con la longitud de sus lados. Identificó el cerebro como el órgano de la inteligencia, que hasta entonces era considerado el corazón.
Nicómaco de Gerasa escribe el libro "introducción a la aritmética".
Gémino de Rodas escribe el libro "Doctrina de Matemáticas", en el que divide las matemáticas en dos partes: Mental y Observable (Pura y Aplicada). Coloca a la Geometría y Aritmética dentro de la matemática pura y a la Mecánica, Astronomía, Óptica, Geodesia, Canon (armonía musical), y Logística dentro de la matemática observable.
Siglo IV d.C.
Pappus de Alejandría escribe su obra "Synagoge o Colección matemática", son 8 libros que tratan sobre la matemática de su época, además desarrolla el Teorema del centroide de Pappus, el teorema de la cadena de Pappus, el Teorema harmónico de Pappus, el Teorema del hexágono de Pappus.
Diofanto de Alejandría escribe su obra aritmética que trata sobre ecuaciones con variables, se le considera el padre del álgebra.
Matemáticas Hindúes
editarEl mundo les debe el invento del sistema de numeración posicional y el descubrimiento del 0 (cero), llamado śūnya en lengua sánscrita. en el siglo VII Bhaskara escribió un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar "algebraica".
El carácter operacional de la matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general del número irracional, pero abierta de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado.
Matemáticas Inca, Mayas y Aztecas
editarLos primeros habitantes de América poseían amplios conocimientos de matemáticas, eran utilizadas para su comercio, también en las obras artísticas y arquitectura.
Los Aztecas crearon el Nepohualtzitzin, un ábaco azteca producido desde hace unos 3000 años.
Los mayas fueron los primeros en utilizar el número cero, tenían un sistema numérico vigesimal.
Los incas desarrollaron el yupana (un ábaco para contar).
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